Топология особенностей дробно-рациональных интегрируемых систем

• Автор: Москвин, Андрей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 134 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Основные определения

1.1 Интегрируемые гамильтоновы системы па симплектических многообразиях

1.1.1 Понятие интегрируемой гамильтоновой системы и теорема Лиувилля

1.1.2 Теорема Лиувилля

1.1.3 Типы эквивалентности интегрируемых гамильтоновых

систем
1.2 Грубые топологические инварианты интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы

1.2.1 Изоэнергетические поверхности

1.2.2 Бифуркационная диаграмма и бифуркационный комплекс

1.2.3 Структура критических точек на изоэнергетической поверхности и понятие грубой молекулы
1.2.4 Склейка изоэнергетических поверхностей из 3-атомов
1.2.5 Типы невырожденных точек ранга ноль
1.3 Гамильтоновы системы в механике

1.3.1 Фазовое пространство
1.3.2 Конформно-гамильтоновы системы
1.4 Гипотеза Мищенко-Фоменко
1.4.1 Формулировка
1.4.2 Метод Садэтова
2 Случай Дуллина-Матвеева
2.1 Интегрируемый случай
2.2 Топология изоэнергетических поверхностей
2.3 Невырожденность точек ранга ноль
2.4 Бифуркационная диаграмма отображения момента
2.4.1 Критические точки отображения момента при гг ф 0 . .
2.4.2 Бифуркационная диаграмма
2.5 Критические окружности и их невырожденность
2.5.1 Количество критических окружностей в прообразе точек кривых бифуркационной диаграммы при с = 0
2.5.2 Явное интегрирование вдоль критических окружностей .
2.5.3 Индексы некоторых критических окружностей
2.5.4 Экспериментальные данные
2.6 Грубые инварианты слоения Лиувилля и бифуркационный комплекс
2.7 Тонкий инвариант Фоменко-Цишанга
2.7.1 Циклы на торах Лиувилля
2.7.2 Допустимые системы координат и матрицы склейки
3 Шар Чаплыгина с ротором на плоскости
3.1 Уравнения движения и первые интегралы

3.2 Критические точки отображения момента
3.2.1 Критические окружности
3.2.2 Неподвижные точки
3.3 Бифуркационная диаграмма
3.3.1 Бифуркационные кривые
3.3.2 Устойчивость критических окружностей и бифуркационный комплекс
3.3.3 Стабилизация и дестабилизация критических решений .
4 Резиновый шар на плоскости
4.1 Уравнения движения и первые интегралы
4.1.1 Резиновый шар на плоскости
4.1.2 Резиновый шар на плоскости с ротором в потенциальном

4.1.3 Интегрируемые случаи
4.2 Критические окружности их устойчивость
4.2.1 Резиновый шар
4.2.2 Резиновый шар с ротором
4.2.3 Резиновый шар в поле сил задачи Бруна
5 О полноте гамильтоновых векторных полей
5.1 Редукция систем
5.2 Левоинвариантные гамильтоновы системы на группах Ли и уравнения Эйлера на алгебрах Ли
5.3 О полноте гамильтоновых векторных полей для полиномов, полученных методом Садэтова

ЛЕММА 1.4.1 Любая алгебра Ли д над полем К нулевой характеристики удовлетворяет одному из следующих условий.
1) д имеет коммутативный идеал Ь), не являющийся одномерным центром алгебры.
2) д имеет идеал §т, изоморфный алгебре Гейзенберга, и при этом центр д совпадает с центром идеала 1)т
3) д = I ф К, где — полупроста
4) д полупроста.
Напомним структуру алгебры Гейзенберга: ()т раскладывается в прямую сумму подпространств V размерности 2т и одномерного центра з = Z('t)rn), порожденного вектором е. Для двух произвольных векторов £1,62 £ V коммутатор определяется формулой
[£ъ6] = <^(£ь£2)е,
где ш — симплектическая форма на V.
Отмстим несколько полезных свойств алгебры д в случае, когда выполнен пункт 2) леммы 1.4.1.
ЛЕММА 1.4.2 Существует подалгебра Ь С д, такая что
б 1)т : д и Ь П 3.
При этом подпространство V С ()т инвариантно относительно присоединенного действия Ь, и Ь действует на V симплектическими преобразованиями.