К теории тел и теории проективных плоскостей

• Автор: Хубежты, Исидор Антонович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Владикавказ
• Количество страниц: 160 с. : ил.

Глава 0. ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. 1Р0УУУ-СИСТЕМЫ

§ 1.1. Левые (правые) Р0УУУ-системы

§ 1.2. О некоторых достаточных условиях альтернативности или

лево-альтернативности РоУУУ-систем

§ 1.3. Комментарии

Глава 2. 1Р0УУУ-ПЛОСКОСТИ

§ 2.1. О конфигурационных свойствах 1Р0УУУ-плоскостей

П.2.1(1). Теоремы 09, Бю и Бц, их следствия и эквиваленты 58 П.2.1(2). Инцидентностные объединенной пересечение

конфигураций

П.2.1(3). О конфигурационных свойствах левых (правых)

РоУУУ-плоскостей X], / = 1 5
§ 2.2. Преобразования в РоУУУ-плоскостях X'
§ 2.3. Некоторые достаточные условия муфанговости
РоУУУ-шюскости
§ 2.4. Преобразования операций тернарных колец
РоУУУ-плоскостей
§ 2.5. Комментарии
Глава 3.0 ПЛОСКОСТЯХ НАД НЕКОТОРЫМИ
СЛАБО-ДИСТРИБУТИВНЫМИ СИСТЕМАМИ
§3.1.0 некоторых слабо-дистрибутивных системах 8
П.3.1(1). О некоторых недистрибутивных системах и правой почти-алгебре с левым слабым дистрибутивным законом
П.3.1 (2). О слабо-дистрибутивных алгебрах, почти-алгебрах, телах и 1Р0УУ/-системах
§ 3.2. О проективных плоскостях над слабо-дистрибутивными

системами.
П. 3.2(1). Коллинеации в плоскостях над слабо-дистрибутивными системами '5., у = 1 9
П. 3.2(2). О конфигурационных свойствах плоскостей над
слабо-дистрибутивными системами ВІ, у = 1,..: ,9
П. 3.2(3). О преобразованиях операций слабодистрибутивных тел и ІР0УУ-систем
§ 3.3. О почти ІР0УШ-плоскостях
§ 3.4. Комментарии
Глава 4. О ДЕЗАРГОВОЙ ГЕОМЕТРИЗАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕЛА
§ 4.1. Дезарговы геометризации характеристик 5,7,11,... тел I
§ 4.2. Дезаргова геометризация характеристики 3 тела
• § 4.3. Дезарговы геометризации характеристики 2 и их
применение к описанию бесконечной плоскости Фапо
§ 4.4. Комментарии •
ВЫВОДЫ
ЛИТЕРАТУРА

0.1. Актуальность темы. Теория проективных плоскостей и теория тел имеют многочисленные связи с такими областями математики, как геометрическая алгебра, алгебраическая геометрия, теория графов, комбинаторика и др. Описание проективной плоскости по известным ее конфигурационным свойствам или коллинеациям всегда сводится к изучению алгебраических свойств ее тернара. Описание же плоскости над заданным телом Т(+,-) сводится к изучению ее конфигурационных свойств и коллинеаций, опираясь на свойства тернара Т. Все аксиомы тела и много классических результатов теории тел имеют проективное истолкование и обратно. Развитие теории тел (проективных плоскостей) способствует развитию теории проективных плоскостей (тел).
Напомним теперь об основных известных методах, результатах и циклах исследований по теории проективных плоскостей и теории тел.
Основы теории проективных плоскостей были заложены Штаудтом, Понселе, Шалем, Штейнером, и др. Штаудту принадлежит идея исчисления отрезков, которая привела к координатизации проективной плоскости полем действительных чисел. Работы Эйлера и Штейнера выявили связи проблематики теории проективных плоскостей с проблемами комбинаторного анализа. Новые стимулы к развитию теории проективных плоскостей дал Гильберт. Он указал первый пример проективной плоскости, в которой не выполняется конфигурационная теорема Паппа П, но выполняется теорема Дезарга Би и установил, что из универсального выполнения теоремы Бц (Паппа П) в плоскости следует выполнение всех аксиом ассоциативного тела 4 (поля) в алгебраической системе, над которой построена плоскость. Гильберт
доказал, что теория дезарговых (папповых) плоскостей строится на трех аксиомах инцидентности и теореме Бц (П), в виде четвертой аксиомы и, что плоскость над ассоциативным телом (полем) дезаргова (паппова).

2) и(Ь + ) = аЬ + а, Усі,Ь,
3) а{Ь + а) = аЬ+аа, Уа,Ь,
4) а{Ь + с) = аЬ + ас, /а,Ь,с.
5) а аЬ-а-...-а++..Л)=Ь~к+ра , ПрИ условии к=І+...+1 и
к р
р=1+...+1є кМмАХг)
В силу же теорем 1.10(1), 1.10(2) 1.10(3), 1.11 и 1.12, верно следующее ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.12(2). В левой 1РоУУ системе характеристики р * 2, в которой имеет место одно из равенств 1)-5) в теореме 1-12(1)^ эквивалентны между собой равенства:
1) а'1 -аЬ = Ь, Vа * 0,Ь,
2) а"1 -аЬ - Ь = Ьа- а-1, /а Ф 0,Ь,
3) {а-Ьа)с = а(Ь-ас), Уа,Ь,с,
4) аЬ- с/а = и(Ьс!-а) = (а-Ьс1)а, /а,Ь,с!.
Докажем теорему 1.13 о достаточных условиях лево-альтернативности 1Р-слева левой 1РоУУ-системы характеристики 2.
ТЕОРЕМА 1.13. Левая IPoVW-cиcтeмa, в которой выполняются
условия:
а + а = 0; (1)
а"1 •аЬ = Ь, У а Ф 0,Ь; (2)
а{Ь + ) = аЬ + а ,Уа,Ь, (3)
является лево-альтернативным, но не ал ьтер нативны мдел ом. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно^что еТР-слева левой [Р()УУ-системе имеют место:
а(-Ь) = -аЬ = а(-Ь)~аЬ} (4)
о'1(а+1) = 1 + а'1 = (а + 1)а'! (3')