Геометрия квазикосимплектических многообразий

• Автор: Валеев, Руслан Рунарович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с.

Глава 1. Квазикосимплектические многообразия

§1. Почти контактные метрические структуры

§2. ^Су-структура и ее структурные уравнения

§3. Некоторые характеризации класса (РСя-многообразий

§4. Вычисление некоторых классических тензоров 2С^-многообразий в А-репере

1. Тензор Римана-Кристоффеля

2. Тензор Риччи

3. Скалярная кривизна

§5. Тождества кривизны для £)Су-многообразий

Глава 2. Псевдокосимплектические многообразия

§1. Определение РСу-многообразий

§2. Структурные уравнения РСу-многообразий
§3. Вычисление некоторых классических тензоров РСу-многообразий в Арепере
Глава 3. Постоянство типа РСу-многообразий
Литература
Публикации автора по теме диссертации

Актуальность темы. Многообразия, которым посвящена настоящая работа, принадлежат классу многообразий, наделенных почти контактной метрической структурой. Почти контактные метрические структуры составляют один из наиболее содержательных примеров дифференциально-геометрических структур. Их теория является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей многочисленные приложения в классической и квантовой механике, в теории геометрического квантования. Кроме того, интерес к теории почти контактных метрических структур объясняется богатством внутреннего содержания самой теории и ее взаимосвязями с другими разделами дифференциальной геометрии, в частности, с теорией гиперповерхностей ри-манова многообразия.
Уже около пятидесяти лет почти контактные многообразия являются предметом интенсивного исследования ученых-геометров. Изучение этого типа многообразий с точки зрения их дифференциально-геометрических структур началось с появлением основополагающих работ Чженя (Chem S.-S.) [1], Дж. Грея (Gray J. W.) [2], Сасаки (Sasaki S.) [3]. В 1953 году Чжень обнаружил, что контактное многообразие допускает G-структуру со структурной группой (е}х U(n). Многообразия, допускающие такую структуру, Дж. Грей назвал почти контактными многообразиями. Сасаки заметил [3], что такая G-структура порождает тройку (Ф, г|), где Ф - тензор типа (1,1), £, - вектор, ц - ковектор. Эта тройка обладает свойствами:

л(4) = 1> Ф2 = —id + r| ®
из которых легко вывести, что:
Ф(£) = 0, л°ф = о.
Кроме того, исходя из произвольной римановой метрики h на таком многообразии, он построил риманову метрику
(X, Г) = И(ФХ,ФУ) + Ъ(Ф2Х,Ф2У) + ц(Х)г(У),
дополняющую (ф, Г]) до почти контактной метрической структуры.
Почти контактные метрические структуры являются нечетномерным аналогом почти эрмитовых структур, и между этими классами структур существует ряд важных взаимосвязей. Например, почти контактная метрическая структура внутренним образом возникает на гиперповерхностях почти эрмитова многообразия. С другой стороны, если (М,Ф, %, л, g) - почти контактное метрическое многообразие, то на многообразии МхЕ канонически индуцируется почти эрмитова структура [4]. Например, как было доказано Кириченко В. Ф. [4], косимплектическое многообразие локально устроено как произведение вещественной прямой на келерово многообразие, точнейше косимплектическое многообразие локально устроено как произведение вещественной прямой на приближенно келерово многообразие.
Изучение взаимосвязи между классами почти контактных метрических и почти эрмитовых структур позволяет выделить новые интересные классы почти контактных метрических структур. Так, например, Оубинья (Oubina J. А.) в 1981 г. в своем докладе «А classification for almost contact structures» на конференции «VIII Jornadas Luso-Espanholas de Matematica» (Коимбра, Португалия) выделил новый класс структур, которые назвал квази-К-косимплектическими структурами. Он определил этот класс структур как линейное расширение квазикелеровых структур. Более того, он доказал, что, если М- почти эрмитово многообразие, то многообразие М х R будет квази-К-косимплектическим тогда и только тогда, когда М является квазикелеровым. Оубинья также доказал, что этот класс структур характеризуется тождеством

подмногообразие коразмерности 1. Рассмотрим сужение С0“ (Л/)-модуля векторных полей Х(М) на N. Обозначим его 3£Л,(М). Очевидно [29], что
Х(ЮсХ„(М), Х„(М) = Х(Ю®У1, где Щ - одномерный подмодуль модуля Хм(М). Кроме того,
= {хе Тр(М){Х,Г) = 0, УУ Є ГДЛГ)}, «ШпТ^ЛО = 1.
Значит, вектор vp Є Тр(М) единичной нормали к N в точке р будет базисом подпространства Тр (Л0, а, соответственно, векторное поле
м = {ур|рЄ^}єХ#(ЛО
- базисом подмодуля СП. Обозначим через Поскольку
{^> у> — (У (у), у) = —0(у, у) = 0, где 0(Лг,У) = — (Ж, У) - фундаментальная форма, то £ 1V и % є Х{И).
Введем обозначения:
Л(ДГ) = (^>,ПЄ^(30,
с,(Х) = (ч,Х),с;єХ'„(М).
Тогда
ц(Х) = £,Х) = (Лу),Х) = - (у, УХ) = —с, о ЛХ),
т. е.
Ч = qoJ.
Таким образом, возникают несколько проекторов в модуле векторных полей Хл,(М), а именно: ^ = <;®у - проектор на вектор нормали; П, = ісі—л, -дополнительный проектор на подмодуль ЗЄ(ІУ); тс2 = Г| ® £; П2 = ід— л2.
Обозначим 1ш л2 = ТІ. Рассмотрим новые дополнительные взаимно ортогональные проекторы:
гс3 = 7С]+я2 = <; ® у + г| <8> £, П3= ід— я3.