Квантовый метод спектральной кривой

• Автор: Талалаев, Дмитрий Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 с.

Содержание
Введение

1 Классический метод спектральной кривой

1.1 Представление Лакса

1.2 Описание Хитчина

1.2.1 Спектральная кривая

1.2.2 Линейное расслоение

1.3 Система Хитчина на особых кривых

1.3.1 Обобщения

1.3.2 Схемные точки

1.4 Система Годена

1.4.1 Оператор Лакса
1.4.2 Я-матричная скобка
1.4.3 Интегралы ,
1.4.4 Алгебро-геометрическое описание
1.5 Разделенные переменные
1.5.1 з12-система Годена
2 Задача квантования
2.1 Деформационное квантование
2.1.1 Соответствие
2.1.2 Квантование интегрируемой системы
2.1.3 Задача квантования системы Годена

2.2 Квантовая спектральная кривая
2.2.1 Некоммутативный определитель
2.2.2 Квантовая спектральная кривая
2.2.3 Янгиан
2.2.4 Подалгебра Бете
2.2.5 Доказательство коммутативности
2.3 Традиционные методы решения
2.3.1 Анзац Бете
2.3.2 Квантовые разделенные переменные
2.3.3 Монодромия Фуксовых систем
2.4 Эллиптический случай
2.4.1 Обозначения
2.4.2 Алгебра Фельдера
2.4.3 Коммутативная алгебра
2.4.4 Характеристический полином
2.4.5 Предел и система Годена
2.4.6 Явный вид в1г эллиптической системы Годена
3 Решение квантовых интегрируемых систем
3.1 Монодромная формулировка
3.1.1 Скалярное и матричное Фуксовы уравнения
3.1.2 Двойственное уравнение
3.1.3 Подъем
3.2 Преобразования Шлезингера
3.2.1 Действие на расслоениях
3.2.2 Действие преобразований на связностях
3.3 Эллиптический случай
3.3.1 Разделенные переменные

3.3.2 Анзац Бете
3.3.3 Матричная форма уравнений Бете
3.3.4 Преобразования Гекке
4 Приложения
4.1 Геометрическое соответствие Ленглендса
4.1.1 Центр С/(д[„) на критическом уровне
4.1.2 Явное описание центра І/а-иШи))
4.1.3 Схема Бейлинсона-Дринфельда
4.1.4 Соответствие
4.2 Некоммутативная геометрия
4.2.1 Приведение квантового оператора Лакса к форме
Дринфельда-Соколова
4.2.2 Тождество Гамильтона-Кэли
4.2.3 Замечания о решениях уравнения КЗ

Введение
Главные результаты и основная идея работы имеют непосредственное отношение к двум важнейшим направлениям развития геометрии и топологии 20-го века, связанным с приложениями теории интегрируемых систем и приложениями квантовой физики. Наиболее ярким результатом первого направления является решение проблемы Шоттки [1], основанное на гипотезе С.П. Новикова. Задача характеризации Якобианов среди прочих главно-поляризованных абелевых многообразий была решена в терминах нелинейных уравнений: соответствующее ^-функциональное

Фактор-пучок Те имеет носитель на Е. Ограничивая последовательность на спектральную кривую получим
О -» С -> С>1 -> С?5((А; - 2)С + Еж) |Е -э Те -► О, (1.26)
где С и Те являются линейными расслоениями. В этом случае получим
х(С) = х{01) - х(0§((* - 2)С + Е0о)у + Х{Те)
Обозначим дивизор (к — 2)С + Е^ С 5 как £>.
х(0£) = те(1 — д),
ХШЕ) У = п£>.[Е] + п(1-«7)
= п2(£ - 2) +п(1 -д), х(Те) = хЫ*Оп(к-2)®О3(ЕО0))-Хт)
= п^(1> • £> - А) - /С®) = »(* — 1). (1.27)
Таким образом х(£) = —п2(к — 2) + те(& — 1). Подсчитаем количество точек ветвления г/ — 2(5 + те — 1) = (к — 2)(гг2 — те). Получим
Лемма 1.3.
сІед(С) = д + п — 1 — и.
Размерность коммутативного семейства На аффинной карте без {г;} и сю спектральная кривая имеет вид

П(г, А) = 0, Щг, А) = (-1)"АП + £ Ат11т(г), (1.28)