Геометрия особенностей интегрируемых систем на алгебрах Ли

• Автор: Браилов, Юрий Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 58 с.

0 Введение

1 Сдвиги инвариантов на алгебре Би(3)

1.1 Уравнения движения

1.2 Регулярные уровни отображения момента

1.3 Спектральная кривая

1.4 Точки типа “фокус-фокус”

2 Точки сильного вырождения сдвигов инвариантов

2.1 Подалгебры, состоящие из критических точек

2.2 Вершины и ребра бифуркационной диаграммы

3 Классическое п-мерное твердое тело

3.1 Точки максимального падения ранга отображения момента

4 Спектральная кривая алгебры з1(п,С)
5 Регулярные точки отображения момента на компактных алгебрах Ли
6 Компактные полупростые алгебры Ли и спектральные кривые
Библиография

Настоящая диссертация посвящена исследованию критических точек отображения момента многомерных интегрируемых гамильтоновых систем на нолупростых алгебрах Ли. Основной идеей диссертации является использование богатой алгебраической структуры таких систем для определения их геометрических и топологических свойств.
Семейство исследуемых в диссертации интегрируемых гамильтоновых систем построено в работе А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко [18]. Предложенный ими метод сдвига аргумента позволяет получить полный коммутативный набор полиномиальных интегралов для уравнений Эйлера на нолупростых алгебрах Ли. Эти полиномиальные интегралы являются обобщениями интегралов, найденных
С. В. Манаковым [17] в задаче о движении п-мерного твердого тела, закрепленного в центре масс, и представляют собой одну из самых больших и интересных серий нетривиальных интегрируемых систем.
Современный алгсбро-гсомстричсский подход в теории интегрируемых систем был заложен в работе С. П. Новикова [21], где конечнозонные решения уравнения Кортсвсга - де Фриза были получены путем их линеаризации на якобиане спектральной кривой уравнения Лакса. Как показывает развитие этого подхода, если для интегрируемых уравнений Гамильтона известно представление в форме Лакса со спектральным параметром, их решение обычно можно явно выписать в тэта-функциях. Конечно, здесь надо отметить, что некоторые классические системы, такие, например, как волчок Ковалевской, были проинтегрированы гораздо раньше, чем для них открыли соответствующие Ь-А пары [16].

Явные формулы в тета-функциях для решений интегрируемой системы мало говорят, однако, о ее глобальном поведении, особенно в тех случаях, когда рассматриваемая система вещественна. Поэтому нашей основной целью будет переход от интуитивного понимания свойств спектральной Ь-А пары и ее спектральной кривой к точным утверждениям о структуре вырождений рассматриваемого коммутативного набора сдвигов инвариантов.
Исторически большинство интегрируемых систем, для которых в настоящее время известна геометрия слоения Лиувилля, были исследованы методами гладкого анализа. Так, бифуркационные диаграммы отображения момента для основных интегрируемых случаев в динамике твердого тела вычислены в работе М. П. Харламова, [30]. Дальнейшее исследование этих случаев можно найти в работах А. А. Ошемкова [26],[27], [32], А. В. Болсинова, А. Т. Фоменко [7], О. Е. Орел [24] и целого ряда других авторов. Впоследствии некоторые из этих результатов были повторно получены алгебро-геомстрическими методами в работе М. Оден [23]. Таким образом, для ряда итегрируемых систем де-факто установлена связь между вырождениями спектральной кривой представления Лакса и поведением торов Лиувилля, однако отсутствие каких-либо общих результатов в этом направлении говорит о том, что данная область теории интегрируемых систем пока еще изучена очень слабо. Среди тех работ, в которых геометрия интегрируемой системы впервые исследована именно алгебро-гсометричсскими методами, можно отметить лишь некоторые примеры [25],[33],[34].
Перейдем к краткому изложению результатов диссертации. Первая Глава IIосвящена исследованию модельного примера — гамильтоновой системы, образованной сдвигами инвариантов на алгебре Ли Би(3). Алгебра эфЗ) является минимальной среди тех полупростых алгебр Ли, на которых сдвиги инвариантов дают пример нетривиальной интегрируемой системы. Подробно исследуя структуру отображения момента в этой системе, мы получаем наглядный пример для иллюстрации основных результатов, относящихся к последующим главам диссертации. Бифуркационная диаграмма для алгебры Ли вфЗ) полностью описана следующей теоремой:

Рассмотрим те же самые многочлены Р = цк + А2 для (6.5, 6.7) и Р = дг, <5 = А2 для (6.10). Для поверхности (6.8) утверждение очевидно. Пусть, например, д = би(г + 1), к — г + 1 и пары (Ао, До) и (Аі,ді) задают одну и ту же точку Л/2. Тогда из (6.5) следует, что
Г -2Аі = -2А0,
< ~кц~1 = -к її о“1, (6.12)
I А2 + (к - 1)/ф = А 1 + (к- 1)д§.
Соотношения (6.12) выполняются только для (Ао,До) — (АьДх). Следовательно, параметризация пробегает поверхность Л/2 однократно, и для почти всех V размерность 5(М2) не превышает
2 сііт Л/2 — 3=1. Коразмерность страта, задаваемого формулами (6.11), не менее 3 и, переходя к вещественной части (-02)с также как и в предыдущей лемме, мы получаем требуемый результат. ■
Теорема 11. Бифуркацоиная диаграмма Е припадлеоюит миооісе-стоу Л П /Дд).
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно проверить следуюнщй факт: если отображение момента вырождено в точке х Є д, то спектральная кривая Гх имеет особую точку. Действительно, по критерию Болсинова [5] существует такое Ао, что х + Аоа — сингулярный элемент алгебры дс. В силу леммы 9 существует такое значение до, что многочлен Р(А, д) = сІеДж + Аа — рЕ) имеет особую точку (Ао,До)- Таким образом теорема полностью доказана для дс = эДгс, <С) или зр(п,С), а также в случае До Ф ОПусть д = 5о(2п), до = 0, и многочлен Р не делится на д4. Следовательно, он делится только на д2, и матрица элемента х + Аоа имеет ровно две одномерные жордановы клетки со значением 0. Так как централизатор пулевой матрицы в бо(2) одномерен, а элемент хо = х + Аоа должен быть сингулярным, то подсчитывая размерность централизатора іДто), получаем (см. лемму 9), что существует несколько жордановых клеток для некоторого ненулевого собственного числа. Подставляя соответствующие собственные векторы в лемму 4.7, получаем утверждение теоремы.
Для алгебры зо(2п + 1) необходимо доказать, что если до = 0, то Р делится на д3. Это следует из того, что в данном случае Р