Геометрические структуры на узлах и зацеплениях

• Автор: Пашкевич, Марина Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 88 с.

Оглавление
Введение

Л 1 Объемы многогранников

1.1 Предварительные сведения

1.2 Объем куба Ламберта

1.3 Объемы усеченных тетраэдров

1.3.1 Тетраэдр с двумя усеченными вершинами

1.3.2 Тетраэдр с одной усеченной вершиной

2 Объем симметричного тетраэдра

2.1 Теорема синусов для п-мерного симплекса в пространствах

* постоянной кривизны
2.1.1 Многомерная теорема синусов в евклидовом пространстве
2.1.2 Многомерная теорема синусов в гиперболическом пространстве
2.2 Объем гиперболического тетраэдра
2.3 Объем сферического тетраэдра
т 3 Объемы конических многообразий, полученных хирургией
Дсна на узлах и зацеплениях

3.1 Спонтанная хирургия на зацеплении Борромеевы кольца . .
ч 3.2 Метрические свойства конических многообразии 0(, 0^;>7П
3.3 Объемы конических многообразий О^т, 0"г, Ок,і,т
Литература

Введение
Теория узлов возникла в Шотландии в 1807 году усилиями трех физиков: Дж. Максвелла, П. Тэйта и У. Томсона. Интерес к узлам был связан с чисто физическими проблемами теории электромагнетизма (см. [28]). Дж. Листинг, К. Рейдемейстер и М. Деи развили теорию узлов до более общей теории трехмерных многообразий. Было введено понятие фундаментальной группы, и теория групп стала одним из наиболее мощных инструментов в теории узлов. Начиная с работ Дж. Александера, полиномиальные инварианты становятся удобным инструментом для изучения узлов. За последние 20 лет было исследовано много различных полиномов такого типа, среди них полиномы Джонса, Кауфмана, НОМБЬУ, А-нолиномы, инварианты Васильева и другие. Это связывает теорию узлов с алгеброй и алгебраической геометрией.
В 1975 году Р. Райли [43] нашел примеры гиперболических структур на дополнениях к некоторым узлам и зацеплениям до 3-сферы. Позже У. Тёрстон выдвинул гипотезу о существовании римановой метрики постоянной отрицательной кривизны на трехмерных многообразиях. В частности, оказалось, что дополнение простого узла до 3-сферы (за исключением тори-чсских и сателлитпых узлов) допускает гиперболическую структуру. Этот подход позволяет рассматривать теорию узлов как часть геометрии и теории клейновых групп.
такой что (/і,/і) = —1. Начало вектора f — это начало системы ко-w ординат, а конец — точка, которую можно задать как {А/і|А Є R} (см.
рис. 1.3). Заметим, что грани, векторы нормалей к которым обозначены через еі, Є2, ез, ортогональны, то есть по предложению 1.1 первого параграфа (еі,Є2) = (ег, ез) = (еі,ез) = 0. Из рис. 1.3 видно, что указанные грани пересекаются в одной точке, которую можно задать как {Ае.і|А Є R}, для некоторого вектора Є4, такого что (e4,e.j) = —1. Имеем:
(еь е4) = (е2, е4) = (е3, е.і) = 0,

(еі, Єї) = (е2, е2) = (е3, е3) = 1.
Таким образом, векторы {еі, ег, ез, Є4} образуют ортонормированый базис в R3,1. Разложим по этому базису векторы /і, /2, /з-Пусть
/і = аіеі + 61Є2 + С1Є3 +
Заметим, что с одной стороны, (/i,ej) можно расписать по свойствам скалярного произведения, а с другой стороны, по предложению 1.2 первого •“ параграфа (/1, ei) = —sh La, то есть
(/ъ Єї) = аі(еі, Єї) + &і(б2, Єї) + Сі(е3, Єї) + ф(е.і, еі) =
= ні ‘ 1 Т * 0 -f- с ' 0 сі *0 = —sh L/n.
Аналогично получаем (/і, Є2) = bi = —sh Lp, (f, Є3) = сі = 0, (/1, Є4) = d.
Таким образом,
/і = —sh Lae 1 — sh Ьрб2 +
^ Аналогично,
/2 = — cos 7Є2 - cos ae3 + d2e.1,
/3 = —ch L7e 1 — cos/Зез + d2e.i.