Применение методов интегральной геометрии к задачам редукции гамильтоновых систем

• Автор: Синицын, Дмитрий Олегович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с. : ил.

Оглавление
1 Асимптотическая гамильтонова редукция для геодезических на деформированных сферах

1.1 Уравнения Лагранжа первого рода для геодезических

1.2 Асимптотическое описание геодезических на деформированных сферах

1.3 Угловой момент и связь с плюккеровыми координатами

1.4 Уравнения для углового момента

1.5 Усреднение уравнений для момента

1.6 Формулировка редукции в терминах интегральной геометрии

1.7 Гамильтонова структура редуцированной системы для углового момента

1.8 Ограничение системы на многообразие Грассмана <2(2, п) как

на пуассоново подмногообразие 5о(гг)

1.9 Связь траекторий момента в точной и редуцированной системах
2 Топология решений редуцированной системы для некоторых классов алгебраических поверхностей
2.1 Двумерные деформированные сферы
2.2 Полиномиальность редуцированного гамильтониана для полиномиальных деформаций двумерной сферы

2.3 Топологическая классификация редуцированных систем для двумерной сферы с деформацией четвертыми степенями координат
2.4 Трехмерные деформированные сферы
2.5 Ультрагиперболическое уравнение Йона на гамильтониан редуцированной системы
2.6 Деформации трехмерной сферы с осевой симметрией (поверхности вращения)
2.7 Многомерные эллипсоиды, близкие к сфере, и случай Шоттки-Манакова в уравнениях Эйлера на алгебре Ли во(п)
3 Редукция уравнений динамики двухспиновой системы в магнитном поле
3.1 Гамильтониан и уравнения динамики двухспиновой системы
3.2 Редукция системы по циклической переменной

Введение
Основная часть настоящей' диссертации посвящена исследованию геодезических на деформированных сферах с помощью теории возмущений. В основе лежит идея о связи этой задачи с преобразованиями интегральной геометрии, в терминах которых производится асимптотическая гамильтонова редукция к системе меньшей размерности. Факты интегральной геометрии определяют свойства этой системы. Для содержательного класса полиномиальных деформаций двумерной сферы производится анализ топологии фазовых портретов редуцированной' системы. В третьей главе рассматривается гамильтонова система, используемая для описания спиновых систем. С использованием симметрии системы производится ее редукция к системе меньшей размерности, допускающей более простое исследование.
Изучение геодезических линий на поверхностях восходит к исследованиям И. Бернулли и Л. Эйлера, посвященных нахождению кратчайших линий, [11]. В дальнейшем эта проблема изучалась в многочисленных работах геометров и механиков по нескольким направлениям исследования.
Обширный ряд работ посвящен нахождению решений уравнений геодезических для конкретных видов поверхностей. Один из первых нетривиальных результатов был получен в классической работе Якоби, который нашел точное решение для геодезических на эллипсоиде методами аналитической механики, [17]. Другими важными примерами являются поверхности вращения и метрики Лиувилля с интегралами первой и второй степени по импульсам, [8]. В работе В.Н. Колокольцова [26] были описаны все метрики на сфере и торе, геодезический поток которых имеет дополнительный квадратичный по скоростям интеграл, не зависимый от интеграла энергии. В ра-

Применим эту схему классификации к редуцированной системе для геодезических на деформированной сфере, представляющей собой алгебраическую поверхность следующего вида. Рассмотрим деформацию стандартной двумерной сферы в виде суммы четвертых степеней координат с различными коэффициентами:
<р(х) = х + х + х — 1 + еф(х) =0, £ 1, ф(х) = £х + £22 + вз®3'
(2.2)
Утверждение 2. Для возмущения сферы четвертыми степенями (2.2) гамильтониан редуцированной системы имеет вид:
Н — д £ [£1 (-2 + -з)2 + £2 (-1 + -з)2 + £3 (-1 + 2)2] (2-3)
Утверждение получается прямым вычислением по формуле (1.22) для функции ф вида (2.2).
Усредненный гамильтониан обладает следующей симметрией, которая будет многократно использоваться в дальнейших построениях.
Лемма 5. Гамильтониан (2.3) симметричен относительно каждого из отражений:
—> —Г, Ь 2 —» — Р/2, Ьз —► —Ьз. (2-4)
Замечание. Из этой симметрии следует, что слоение на всей сфере Ь2 — 1 может быть получено из его части, расположенной в первом октанте Ь ф 0, > 0,1>з 0, с помощью комбинаций отражений, указанных в лемме.
Перейдем к построению инвариантов А.Т. Фоменко в рассматриваемом случае, в результате чего гамильтонианы (2.3) будут классифицированы с точностью до послойной эквивалентности (в случае, когда они являются функциями Морса).