Структура борелевских множеств и их отображения

• Автор: Островский, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 120 с.

1. Канонические борелевские множества

2. Особые А-множества и их свойства

3. Гармонические отображения

4. О некоторых классах отображений метрических пространств

5. Об открытых отображениях борелевских множеств, гомеоморфизмах Ь-однородных пространств и характеристике Р х О

6. Список литературы

Актуальность темы. В дальнейшем, если не оговорено противное, все пространства предполагаются лежащими в канторовом множестве С или пространстве иррациональных чисел Р.
В диссертации рассматриваются взаимосвязанные вопросы, относящиеся к трем периодам.
1. Вопросы 1928-45 годов, касающиеся определения канонических борелевских множеств и поведения их при гомеоморфизмах и открытых отображениях.
2. Вопросы 70-х годов, об описании отображений, сохраняющих первые борелев-ские классы множеств и, в первую очередь, класс ба-множеств, совпадающий, как известно, с классом полнометризуемых пространств.
Сюда относятся вопросы о гомеоморфизмах и об индуктивной совершенности отображений (индуктивно совершенные отображения сохраняют борелевские классы).
3. Вопросы 90-х годов о сохранении борелевских классов различными видами стабильных и гармонических отображений и об их индуктивной совершенности.
Вопросы первой группы ставились классиками топологии и дескриптивной теории множеств. Они оставались актуальными до последнего времени.
Об актуальности последней группы вопросов говорит, например, только что объявленное положительное решение Ж. Сен Реймоном и Г. Дебсом вопроса о сохранении борелевских классов гармоническими (= компактно накрывающими) отображениями. Данное ими доказательство явилось важным событием последнего времени, так как ими же было установлено, что доказательство индуктивной совершенности таких отображений требует привлечения дополнительных аксиом теории множеств.
Вернемся к начальным вопросам и их истории.
Важнейший класс топологических пространств - класс компактных пространств - сохраняется при любых непрерывных отображениях. Изучение непрерывных образов второго по значимости класса пространств - пространств, метризуемых полной метрикой, привело, как известно, к развитию дескриптивной теории множеств

Класс Ко состоит из множеств, которые одновременно открыты и замкнуты.
Класс Ку состоит из множеств, которые одновременно С^(= П®) и 5СТ(= £®).
Класс Ко состоит из множеств, которые одновременно Сь„(= Щ) и Рпь{= Е°).
Известно, что каждое множество класса Ка есть счетная сумма попарно непере-секающихся элементов класса < а.
H. Лузину и Л.В. Келдыш принадлежит гипотеза о существовании в классах Ка конечного числа таких множеств (названных Лузиным каноническими элементами), что любое борелевское множество класса Ка является их счетным объединением:
Мы назовем каноническими такие элементы класса Ка, которые имеют достаточно простое свойство, и каоюдое множество класса Ка может быть получено их счетным объединением. Было бы желательным иметь в каждом классе конечное число таких канонических элементов, попарно негомеоморфных. (36]
Как отмечено в [36], определение таких канонических элементов, изучение их структуры и определение их роли - центральная проблема в теории 5-множеств.
Л.В. Келдыш назвала борелевское множество X класса П® "каноническим элементом", если:
1) X имеет первую категорию на себе;
2) X всюду содержит замкнутую копию каждого П®-множества (а > 2).
Результаты Л.В. Келдыш влекут единственность канонического элемента в каждом классе П®, а >2. Л. Келдыш показала, что ответ на эту гипотезу положителен [35]. Это вытекает из следующего ее результата, который в принятой нами терминологии звучит так:
I.5.1. Теорема. Каждое П°а-множество (а > 2) есть объединение канонического элемента класса а и счетного числа множеств класса < П®.
Ответ на гипотезу Лузина легко получается из следствия 1 5.3, вытекающего из следующей теоремы 1.5.2 автора (теорема 7 [17]). Ответ также вытекает из приведенного в конце главы следствия 1.6.4.
1.5.2. Теорема. Каждое борелевское множество X С С представимо в виде