Характеристические классы в теории особенностей

• Автор: Казарян, Максим Эдуардович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 275 с.

Оглавление
Введение
1 Сводка общих результатов из теории характеристических классов и теории особенностей

1.1 Некоторые сведения о топологии многообразий

1.2 Характеристические классы б'-рассдоений

1.3 Классы Чженя

1.4 Характеристические классы вещественных расслоений

1.5 Лагранжевы и лежандровы характеристические классы

1.6 Конечная определенность ростков отображений

2 Классифицирующее пространство моноособенностей

2.1 Многочлены Тома

2.2 Условие общности положения
2.3 Обобщение теоремы Тома
2.4 Комплексная версия
2.5 Классифицирующее пространство особенностей и определение многочленов Тома
2.6 Стабилизация
2.7 Расщепление когомологий классифицирующего пространства
3 Вычисление многочленов Тома для комплексных особенностей

3.1 Классы Портеуса-Тома и их производные
3.2 Лагранжевы и симметричные вырождения
3.3 Метод использования симметрий
3.4 Многочлены Тома вещественных отображений
4 Многочлены Тома лагранжевых, лежандровых особенностей и критических точек функций
4.1 Лежандровы особенности и изолированные особенности гиперповерхностей
4.2 Разрешение дискриминантов особенностей функций
4.3 Показатели примыкания особенностей функций
4.4 Симметрии особенностей
4.5 Многочлены Тома комплексных лагранжевых, а также ве-
щественных лагранжевых и лежандровых особенностей
5 Мультиособенности гладких отображений и операции в теории кобордизмов
5.1 Формулировка основной теоремы
5.2 Уточненная формулировка и остаточные многочлены для
мультиособенностей
5.3 Пример: формула кратных особенностей
5.4 Определение остаточных многочленов
5.5 Обоснование из теории кобордизмов
5.6 Целочисленная формула и другие обобщения
6 Лежандровы мультиособенности и мультиособенности гиперповерхностей
6.1 Изолированные особенности гиперповерхностей и лежандровы характеристические классы
6.2 Вычисление лежандровых остаточных классов
6.3 Приложения к исчислительной геометрии
6.3.1 Исчисление особых кривых на поверхностях
6.3.2 Исчисление касаний проективных многообразий с гиперплоскостями
6.3.3 Исчисление касаний проективных гиперповерхностей
с с проективными подпространствами
7 Характеристические классы особенностей коранга 1
7.1 Локальное строение особенностей коранга 1 и принцип итерации
7.2 Характеристические классы отображений коранга
7.3 Многочлены Тома для локальных особенностей
7.4 Остаточные классы мультиособенностей
7.5 Формулы избыточного пересечения (по С. Клейману)
7.6 Характеристические классы производного отображения Х(к, 1) -»■ X(к)
7.7 Характеристические классы производного отображения в общем случае
7.8 Целочисленные соотношения
7.9 Мультиособенности лежандровых отображений коранга 1 и отображений Морэна
Заключение
Литература

можно задать классы с, универсальным правилом, применимым к большому классу комплексных векторных расслоений, а можно применить эту же конструкцию к тавтологическому расслоению на грассманиане и задать эти классы как определенные классы на классифицирующем пространстве
В п1 ;г ■
1.3.1. сг(Е) = 0 при г > п, а старший класс Чженя сп(Е) комплексного расслоения ранга V, на гладком многообразии М равен классу Эйлера этого расслоения. Этот класс определяется как класс, двойственный многообразию нулей сечения общего положения, или как класс, двойственный нулевому сечению в когомологиях пространства расслоения Н2п{Е) — Н2п{М), или как обратный образ класса Тома при вложении базы М в качестве нулевого сечения в пространство Тома расслоения Е.
1.3.2. Вложение тора {/(1) х • • • х (/(1) С и(п) задает гомоморфизм Н*(В11 (п)) -ч Н*{Ви(1) х • • • х ВЩ1)) =
= н*(ви( 1))®... ®н*{ви{ 1)) - .., у.
Этот гомоморфизм инъективен и его образ состоит из симметричных многочленов. Класс с, определяется как класс, переходящий в г-ю элементарную симметричную функцию от £ь...,ф.
На языке векторных расслоений это определение формулируется следующим образом. Предположим, что данное комплексное расслоение Е на пространстве М допускает полный флаг лодрасслоений В С • • • С Вп — Е, гк А = г. В категории С°°-гладких многообразий и отображений всякое такое расслоение расщепляется, и мы имеем Е с* 1г © • • • © где 1к = А/А-1- Тогда в этом частном случае мы можем определить классы С{(Е) равенством
1 4- щ(Е) + ■ ■ ■ + Сп{Е) = (1 + П) • • • (1 + У > 1-к — С1 (/ь),
где класс с для линейного расслоения считается определенным.