Инъективные булевы пространства

• Автор: Луценко, Алексей Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 c. : ил

I

ГЛАВА II СВОЙСТВА ИНЪЕКТИВНЫХ БУЛЕВЫХ ПРОСТРАНСТВ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

§ I.I. Различные определения класса инъективных булевых

пространств

§ 1.2. Операции над инъективными булевыми пространствами

§ 1.3. Представление инъективных булевых пространств в

виде пределов непрерывных спектров с открытыми

проекциями

ГЛАВА 2 ИССЛЕДОВАНИЕ ИНЪЕКТИВНЫХ БУЛЕВЫХ ПРОСТРАНСТВ И

ИХ ОТОБРАЖЕНИЙ СПЕКТРАЛЬНЫМИ МЕТОДАМИ

§ 2.1. Открытые отображения инъективных булевых пространств

§ 2.2. Продолжения и неприводимые отображения инъективных
булевых пространств
§ 2.3. Об одном варианте спектральной теоремы Щепина для
однородных инъективных булевых пространств
ПРИЛОЖЕНИЕ А Представление проективных булевых алгебр в

виде объединения цепей своих подалгебр меньшей
мощности
ПРИЛОЖЕНИЕ В Об инъективных булевых пространствах с дополнительными структурами
ЛИТЕРАТУРА

Класс инъективных булевых пространств является одним из наиболее хорошо изученных классов топологических пространств. Определение булевых пространств как вполне несвязных бикомпактов восходит к М. Стоуну, доказавшему в 1936 году [^28^ классическую теорему о топологическом представлении булевых алгебр, именно: для каждой булевой алгебры Л существует единственное с точностью до гомеоморфизма вполне несвязное бикомпактное хаусдорфо-во пространство У такое, что поле всех его открыто-замкнутых подмножеств изоморфно булевой алгебре Л- . Инъективные булевы пространства были определены П. Халмошем в 1961 году [31^ как такие булевы пространства У » что каждое непрерывное отображение из некоторого подпространства в У может быть продолжено до непрерывного отображения со всего булева пространства в У . Таким образом класс инъективных булевых пространств, обозначаемый далее через Л , есть в точности класс инъективных объектов в категории булевых пространств с непрерывными отображениями в качестве морфизмов. П. Халмош показал, что класс 2/ замкнут относительно тихоновского произведения и конечной топологической ;суммы. Заметим, что ряд результатов, важных для изучения класса; С/ , был получен раньше. Так в 1928 году В. Серпинский [2^ доказал теорему о том, что всякое непустое замкнутое подмножество р1 нульмерного метрического пространства есть
его ретракт, из которой еле,дует инъективность каждого булева пространства со счётной базой. Р. Сикорский в 1951 году [25^[, изучая гомоморфизмы полей множеств, фактически показал, что
I - 4 -
класс С/ совпадает с классом Г-образов "2) . Решая проблемы П. Халмоша, Р. Энгелькинг [зэ] доказал, что не всякий диа-дический нульмерный бикомпакт принадлежит классу 2] » а
С. Коппельберг [14] установила, что не всякое пространство из класса: 2) может быть получено из нульмерных компактов ( мет-ризуемых бикомпактов ) с помощью операций тихоновского произведения, конечной топологической суммы и одноточечной компак-тификации счётной топологической суммы. Далее В.Б. Пашенков [19] показал, что не всякий диадический нульмерный топологически однородный бикомпакт принадлежит классу С/ . Таким образом класс 21 с одной стороны содержит объекты, не получаемые из нульмерных компактов с помощью основных топологических операций, с другой стороны объекты класса 2) должны иметь определённую внутреннюю структуру, близкую к структуре произведений компактов. Это в полной мере выявили работы Р. Хейдона Н и Е.В. Щецина [37^ , в которых изучение пространств Дугунджи основано
на специальном спектральном представлении. Из результатов Р. Хейдона следует совпадение класса 21 с классом нульмерных пространств Дугунджи. Е.В. Щепин доказал важную теорему о том, что всякое однородное по характеру нульмерное пространство Ду-гунджи гомеоморфно _[) , решил проблему А. Пелчинского [*2о] ,
показав несовпадение классов нульмерных пространств Дугунджи и Милютина.
Целью настоящей работы является дальнейшее изучение инъективных булевых пространств, их отображений и операций над ними.При этом большее внимание уделяется исследованию пространств несчётного веса, поскольку случай счётного веса подробно изучен в работах А. Мостовского [17] , П. Пирса [21] , Кетонена [13] и
других авторов.
что /■'/ (хо, Нв'8))= /хо,Нв'8 )|Лхо,Нв'1х', ;) , следавательно, насыщение ненасыщенного слоя с основанием С является объединением двух слоев с тем лее основанием С • Таким образом насыщение множества р1 есть некоторое объединение слоев со счётным основанием С и, так как ПР замкнуто, то
является множеством типа (7Я . Лемма доказана.
9 ГТ^о
Лемма 2.6. Продолжение г_ канторова множества 1) обладает следующим свойством; если {Р}-^£ГГ есть нетто рое семейство замкнутых в 2 множеств типа 0# , то множество Ш^т}] ^имеет тип
Доказательство. Заметим, что для каждого 4еТ множество №) замкнуто и имеет тип . Так как отображение замкнуто, 4(/{^т}]гяшад)] ^и достаточно показать, что множество ГДГМ^ТЩ, имеет тип . Это верно в силу леммы 2.5. и равенства
стя -дат^т]],, »ас в *2) замыкание
объединения любого семейства замкнутых множеств типа есть
множества типа . Лемма доказана.
г^з} о
гоТеорема 2.4. Продолжение 2 канторова множества 2) меоморфно пространству
Из теоремы 2.4. следует, что существует в точности двукратное неприводимое отображение пространства *1) на себя. Этот результат обобщает следующая теорема, содержащая также как частный случай доказательство теоремы 2.4.
Теорема 2.5. Для любого нульмерного компакта С существует такое неприводимое отображение пространства 1) веса С = =• ?У° на себя, при котором полный прообраз любой точки гомео-