Топологические свойства типа нормальности и счетной паракомпактности в произведениях и экспоненциальных пространствах

• Автор: Комбаров, Анатолий Петрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 211 с.

1 Глава первая. Нормальность и счетная паракомпактность в произведениях

1.1 Компактность и секвенциальность по множеству

ультрафильтров и замкнутые проекции

1.2 Нормальность произведения двух пространств

1.3 Теснота и нормальность Е-произведений

1.4 Нормальные п-произведения

1.5 Замкнутые ш-компактные отображения и уплотнения

1.6 Распространение характеристик компактов Корсона и

Эберлейна на М-пространства

2 Глава вторая. Слабая нормальность

2.1 Экспоненциальное пространство

2.2 Большие степени
2.3 Пространство X2 Д
3 Глава третья. Слабые формы счетной паракомпактности
3.1 са-Счетная паракомпактность
3.2 Дискретные системы замкнутых множеств
3.3 Замкнутые отображения на (/-пространства
3.4 Аналоги теоремы Зенора
3.5 Несчетные произведения
3.6 Пространство X2 Д
3.7 Экспоненциальное пространство
3.8 Паранормальность в смысле Ван Дауэна
4 Глава четвертая. Свойство 5-нормальности
4.1 5-Нормальность Г^-подмножеств
4.2 Наследственная 5-нормальность
5 Глава IIятая. Нормальность над классом топологических пространств
5.1 Наследственная ZT-нормальность
5.2 Линделёф-нормальность
5.3 Совершенная TZ-нормальность
5.4 Нормальные функторы степени
6 Глава IIIестая. Свойство Л-нормальности
6.1 Экспоненциальное пространство
6.2 Пространство X2 А
7 Глава седьмая. Прямоугольные покрытия X2 А
7.1 Локально конечные прямоугольные покрытия
7.2 Счетные прямоугольные покрытия
Список диаграмм
1 Диаграмма
2 Диаграмма
3 Диаграмма
4 Диаграмма
5 Диаграмма
6 Диаграмма
7 Диаграмма

Класс нормальных пространств, занимающий одно из центральных мест в общей топологии, был определен в 1923 году Титце [140] и в 1924 году П.С.Александровым и П.С.Урысоном в работе [54]. Свойство нормальности появлялось также и у Вьеториса [144]. В своем знаменитом “Мемуаре о компактных топологических пространствах” П.С. Александров и П.С.Урысон пишут [1]: “Пространство называется нормальным, если всякие два лежащих в нем непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности.” Условие нормальности топологического пространства является некоторым естественным ограничением на топологию пространства. Такого рода ограничения принято называть аксиомами отделимости. Возникновение аксиом отделимости связано с именами Ф. Хаусдорфа, Ф. Рисса, Л. Вьеториса, Г. Титце, П. С. Александрова, П. С. Урысона, А. Н. Колмогорова, А. Н. Тихонова. Напомним аксиомы отделимости.
Аксиома То: пространство называется То-пространством, если для каждой пары различных точек х,х2 € X существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек [А. Н. Колмогоров). Аксиома Т: пространство называется ^-пространством, если для каждой пары различных точек х,х2 £ X существует открытое множество и С X, такое, что х £ У и х2 II (Ф. Рисс).
Аксиома Т2: пространство X называется ^-пространством или хаус-дорфовым, если для каждой пары различных точек х,х2 £ X существуют открытые множества Л, 112 С X, такие, что х £ Щ, х2 £ П2 и П П 112 — 0 (Ф. Хаусдорф).
Аксиома Т^: пространство X называется Тз-пространством или регулярным, если пространство X является ^-пространством и для любой точки х £ X и каждого замкнутого множества И С X, такого, что х $ У, существуют открытые множества УцУг С X, такие, что х £ С/ц И С У2 и Ух Г) Уг = 0 ( Л. Въеторис).
Аксиома Тц: пространство X называется ^-пространством или тихоновским, если пространство X является ^-пространством и для люГлава первая. §1

является замкнутым отображением для любого счетного пространства 5.
Выясним теперь условия, при выполнении которых компактность и секвенциальность по множеству ультрафильтров сохраняются операцией произведения.
Определение. Пространство X будем называть V-компактным, если в X всякая последовательность точек при некотором р & V имеет р-предельную точку.
Всякое Р-компактное пространство слабо Р-компактно, но обратное неверно, как показывает следующий пример.
Пример. Пусть Р — орбита некоторой точки из (Зшш относительно действия группы всех гомеоморфизмов (Зш на себя, и пусть А = (Зсо Р. Так как последовательность {хп = п : п Е о;} не имеет р-предельных точек в А = Р при р Е Р, пространство А не является Р-компактным. Пусть теперь (^ = {гп £ А : п Е ш} — некоторая последовательность, состоящая из попарно различных точек. Так как замыкание имеет мощность 22"’ ([146], 3.3), а мощность множества р Е Р равна 2Ш ([146], 3.21), то найдется точка х, принадлежащая разности [С$рыfQUP). Пусть IV — произвольная окрестность точки х и пусть й = {п 6 ш : £ IV}. Так как орбита Р является всюду
плотным подмножеством (Зшш ([146], 3.20), а пространство (Зш экстремально несвязно ([52], 6.2.29), то найдется ультрафильтр р Е [ЩршПТ. Из того, что р Е [Щрш следует, что Р Е р. Следовательно, А — слабо Р-компактное не Р-компактное пространство.
Теорема 5. Пусть Р является компактом. Тогда слабо Т-компак-тное пространство является V-компактным.
Доказательство. Пусть X — слабо Р-компактное пространство. Выберем произвольную последовательность {хп Е1:пЕ ш}. Из слабой Р-компактности пространства X следует существование точки х Е X, такой, что для любой окрестности ]У точки х найдется ультрафильтр р Е Р, такой, что {п Е ш : хп Е И"} Е р. Предположим, что тем