О сходимости и существовании формальных решений систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных

• Автор: Чулков, Сергей Павлович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с.

1 Полиномы Гильберта и Гильберта-Самюэля и системы линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами

1.1 Введение

1.2 Формальные решения системы

1.3 Символ системы как алгебраическое многообразие

1.4 Символ системы и ее формальные решения

1.5 Символ системы и ее аналитические решения

1.6 Пример: Гармонические функции

2 Сходимость формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных

2.1 Введение

2.2 Формулировка результата

2.3 Упорядоченная полугруппа Щ,0

2.4 Доказательство Теоремы 2.2
2.4.1 Леммы о мажорировании
2.4.2 Формулировка условий специального случая
2.4.3 Замена координат
2.4.4 Построение мажорирующего уравнения
2.4.5 Построение мажорирующего ряда
2.4.6 Завершение доказательства теоремы
2.5 Примеры и замечания
2.5.1 Пример. Случай одного уравнения
# 2.5.2 Пример. Необходимость условий теоремы
2.5.3 Случай нескольких неизвестных функций
3 Полином Гильберта для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных
3.1 Введение
3.2 Свойства полугруппы 7£.0
3.3 Отображение Грёбнера и базисы дифференциальных идеалов
3.4 Формальные решения системы линейных дифференциальных
уравнений в частных производных
3.4.1 Формальные решения системы как функционалы на кольце дифференциальных операторов

3.4.2 Существование формальных решений
3.5 Теорема сходимости и ее следствия
3.6 Примеры и замечания
3.6.1 Условие а), наложенное на упорядочивание -<, и сходимость формальных решений
ф 3.6.2 Случай нескольких неизвестных функций
3.6.3 О пространстве решений в точках “плохой” гиперповерхности Е
3.6.4 Алгебраический смысл функции Гильберта системы

Диссертация состоит из трех глав. Наиболее сильные результаты получены автором в теории сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных [1], их изложению посвящена
глава 2. В ней исследуется один из вариантов классического вопроса о сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных. Мы формулируем и доказываем необходимые и достаточные условия сходимости заданного (найденного любым методом) формального решения системы дифференциальных уравнений в частных производных. Наш критерий сходимости формальных решений применим к системам дифференциальных уравнений (в т.ч. и нелинейных) разрешенным относительно старших производных (в смысле некоторого полного упорядочения множества производных функции многих переменных) и, что особенно важно, “почти разрешенным относительно старших производных” . Он утверждает, что формальный ряд, являющийся формальным решением системы, сходится, если и только если сходится определенная частичная сумма этого ряда. Наша теорема обобщает теорему сходимости Рикье [15] и следствия работы Паламодова [8], касающиеся сходимости формальных решений (более подробно история вопроса и мотивировки наших результатов изложены в предисловии к главе 2).
Глава 2 полностью независима от остальных глав диссертации. Для доказательства основного результата главы 2 мы используем некоторые факты о комбинаторике и геометрии полугруппы поиск которых был
диус сходимости. Действительно, искомое решение задается следующими условиями
2(о,п) = 0 для любого неотрицательного целого п;
г(1,1п) — — *)> если целое неотрицательное число п имеет остаток
при делении на четыре, и £(!,„) = 0, иначе.
2.5.3 Случай нескольких неизвестных функции
Важно отметить, что обсуждаемая теорема сходимости формальных решений системы несложно обобщается на случай систем на несколько неизвестных функций г гр.
Производные набора неизвестных функций ..., параметризуются точками произведения % = х {1,... ,р}. Пусть ~<ъ^а некоторый порядок на полугруппе удовлетворяющий условиям а) и б) параграфа 2.2-, Рассмотрим следующий полный порядок -< на множестве Z. Для любых элементов (а, г) и (уЗ, у) множества Z сравниваются элементы а и /3 по-лугруппы К.0 с помощью упорядочивания -<щ0, если же они совпадают, сравниваются (как целые числа) номера г и j. В этом случае нетрудно доказать прямой аналог Теоремы 2.2.1, практически дословно повторяя рассуждения данной работы.