Склеивание римановых многообразий с краем

• Автор: Косовский, Николай Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 49 с.

Глава 1. Степень гладкости метрического тензора многообразия М,

полученного склеиванием Мо и М

§1. Обозначения

§2. Обобщенные функции и “степень гладкости” метрического тензора

пространства М

§3. Формальные секционные кривизны в М

§4. Связь формальных кривизн и кривизны по Александрову

§5. Малая деформация многообразия с уменьшением второй формы

края

Глава 2. Склеивание римановых многообразий кривизны

§1. План доказательства теоремы

§2. Построение метрики (•, ■}$ на Мо
§3. Вспомогательные равенства
§4. Три приближенных равенства
§5. Оценка кривизны Римана к$ метрики (•,•)$
§6. Две предварительные оценки
§7. Окончательная оценка секционных кривизн К£ метрики (-,-)б
Глава 3. Склеивание римановых многообразий кривизны
§1. к-выпуклость полей Якоби
§2. План доказательства теоремы
§3. Поведение геодезических в одном листе
§4. Выбор малой окрестности. Локальное поведение
почти-геодезических
§5. Связь почти-геодезических с кратчайшими
§6. Доказательство леммы 3
§7. Доказательство теоремы
Глава 4. Липшицева аппроксимация пространств
§1. Липшицева аппроксимация пространств
§2. О самосопряженных операторах в двумерном пространстве
Приложение. Необходимость условий теорем 1 и
Список литературы

Исторические замечания. Пространства Александрова — один из основных объектов изучения современной геометрии. Они являются обобщениями римановых многообразий. Пространствами Александрова обычно называют три разных типа пространств: двумерные многообразия ограниченной интегральной кривизны, пространства ограниченной сверху кривизны и пространства ограниченной снизу кривизны. Первоначально ([16], 1941 год), А. Д. Александровым рассматривалась внутренняя геометрия выпуклых поверхностей и, что в некотором смысле то же самое, двумерные многообразия неотрицательной кривизны. Впрочем, он вскоре ([17], 1944 год) отметил, что если рассматривать выпуклые поверхности не в евклидовом пространстве, а в произвольном пространстве постоянной кривизны, то получаются двумерные многообразия ограниченной снизу кривизны. Более точно: выпуклая поверхность в трехмерном пространстве постоянной кривизны К является двумерным многообразием кривизны К, а любое двумерное многообразие кривизны ^ К (по крайней мере локально) представимо выпуклой поверхностью в трехмерном пространстве постоянной кривизны К. Детальное изложение внутренней геометрии выпуклых поверхностей было представлено в монографии ([18], 1948 год). Там же в заключительной главе была намечена программа изучения внутренней геометрии более общего класса поверхностей — поверхностей ограниченной интегральной кривизны. Эта программа была реализована в книге А. Д. Александрова и В. А. Залгаллерра [22]. Иной подход поверхностям ограниченной интегральной кривизны (аналитический, с использованием изотермического элемента) был предложен и реализован Ю. Г. Решетником. Описание этого подхода можно найти в [39], там же есть ссылки на работы, в которых этот подход был разработан. Параллельно развитию теории поверхностей ограниченной интегральной кривизны А. Д. Александров ([19], [3], 1950-е годы) заложил основы теории пространств, ограниченной сверху (соответственно снизу) кривизны.
Теория двумерных многообразий ограниченной интегральной кривизны была развита А. Д. Александровым и его учениками, так что почти все принципиальные вопросы этой теории нашли свое решение, см. [22], [39]. Двумерный случай сильно выделяется: и поверхности ограниченной снизу кривизны, и поверхности ограниченной сверху кривизны являются поверхностями ограниченной интегральной кривизны. В многомерном случае такого естественного общего класса не известно.
Изначально в исследованиях А. Д. Александрова пространств ограниченной кривизны много внимания уделялось, по существу, аксиоматическому вопросу описания пространств Александрова в терминах избытков треугольников (избыток — сумма углов треугольника за вычетом я). В последующий период пространствам ограниченной сверху кривизны уделялось больше внимания, чем пространствам ограниченной снизу кривизны. Существенный прогресс в теории пространств ограниченной снизу кривизны был связан с исследованием Ю.Д.Бураго, М.Л.Громова и Г.Я.Перельмана [26] и последующих за ним работ, среди которых необходимо выделить сильные результаты Г. Перельмана, см., например, его статью [34] и, к сожалению, неопубликованный препринт [13]. Описание основ теории пространств кривизны ограниченной снизу есть, например в обзоре Плаута [15].

Теория пространств ограниченной сверху кривизны развивалась более равномерно (см., например [20], [37], [38], [21], [11], [5], [27]). В ее развитии необходимо отметить роль идей М. Л. Громова. В изучении пространств ограниченной сверху кривизны существенную роль сыграли методы, связанные с метрикой Громова-Хаусдорфа и, в частности, асимптотический подход к этим пространствам — т.е. изучение их поведения на бесконечности.
Стоит отметить, что пространства кривизны ^ к и ^ к (как можно было предположить из истории развития соответствующих теорий) существенно отличаются по своим свойствам и для них обычно используются различные методы исследования несмотря на схожесть определений.
Напомним, что к-плоскостью называется полная односвязная поверхность постоянной кривизны к. Для треугольника АаЬс в произвольном метрическом пространстве треугольником сравнения (на к-плоскости) называется треугольник на к-плоскости с теми же длинами сторон, что и в АаЬс.
Имеется несколько равносильных определений пространств ограниченной сверху (соответственно, снизу) кривизны. Нам удобно использовать в дальнейшем следующее, не совсем традиционное определение.
Метрическое пространство X с внутренней метрикой называется пространством кривизны ^ /с, если каждая точка пространства X имеет такую окрестность I/, что для любого треугольника АаЬс, содержащегося в II, определены углы АаЬс, АЬса и АсаЬ и они удовлетворяют неравенствам
АаЬс ^ АкаЬс, АЬса ^ АкЬса, АсаЪ ^ АксаЬ,
где через АкаЬс обозначен соответствующий угол в треугольнике сравнения. Такой угол называется углом сравнения.
Аналогично, метрическое пространство X с внутренней метрикой называется пространством кривизны > к, если каждая точка пространства X имеет такую окрестность (7, что для любого треугольника АаЬс, содержащегося в 1/, определены углы АаЬс, АЬса и АсаЬ и они удовлетворяют неравенствам
АаЬс ^ АкаЬс, АЬса ^ АкЬса, АсаЬ ^ АксаЬ;
кроме того требуется, чтобы сумма смежных углов равнялась тг, то есть если г — внутренняя точка кратчайшей [р Тема этой диссертация лежит на стыке теории пространств Александрова (ограниченной сверху или снизу кривизны) и римановой геометрии, а в самой диссертации рассматриваются римановы многообразия с (гладким) краем. Несмотря на то, что риманово многообразие с краем является естественным объектом, по-видимому, поведение кратчайших около края не изучалось систематически вплоть до работы С. Александер, И. Берга и Р. Бишопа [1]. Вскоре теми же авторами [2] было получено необходимое и достаточное условие того, что риманово многообразие с (гладким) краем является пространством кривизны ^ к. В частности, там было доказано, что риманово многообразие с краем всегда является пространством ограниченной сверху кривизны.
Теоремы о склеивании играют в синтетической геометрии заметную роль, позволяя конструировать новые объекты из известных блоков. Даже если эти блоки — гладкие римановы многообразия (с гладким краем), в результате

29. Косовский Н. Н., Склеивание римановых многообразий кривизны ^ к, Алгебра и анализ т.14, вып. 3 (2002), 140-157.
30. Косовский Н. Н., Склеивание римановых многообразий кривизны ^ к, Алгебра и анализ т. 14, вып. 5 (2002), 73-86.
31. Косовский Н. Н., Склеивание с ветвлением римановых многообразий кривизны ^ к, Алгебра и анализ т. 16, вып. 4 (2004), 132-145.
32. Лебедева Н.Д., Теорема о возвращении в системах с ветвящимися геодезическими, Алгебра и анализ т. 14, вып. 1 (2003), 87-96.
33. Лебедева Н.Д., Об экспоненциальном росте полиэдральных пространств без сопряженных точек, Алгебра и анализ т.15, вып. 1 (2003), 184-200.
34. Перельман Г. Я., Начала теории Морса для пространств Александрова,, Алгебра и анализ т.5, вып. 4 (1994), 205-214.
35. Погорелов А. В., Однозначная определенность общих выпуклых поверхностей., Киев: изд. АН УССР, 1952.
36. Рашевский П. К, Риманова геометрия и тензорный анализ, Наука, М., 1967.
37. Решетняк Ю. Г., К теории пространств кривизны, не большей К, Матем. сб. Т. 52. N 3. (1960), 789-798.
38. Решетняк Ю. Г., Нерастягивающие отображения в пространствах кривизны, не большей К, Сиб. мат. ж. Т. 9. N 4. (1960), 918-927.
39. Решетняк Ю. Г., Двумерные многообразия ограниченной кривизны, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 70 (1989), 7-189.