Полуабелевы категории и категории банаховых пространств

• Автор: Глотко, Николай Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 69 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Комплексы в полуабелевых категориях

1. 1. О Ker — Coker — последовательности в полуабелевой категории

1. 2. О когомологической последовательности для короткой точной последовательности комплексов в

полуабелевой категории

Глава 2. Комплексы соболевских пространств, ассоциированные

с абстрактным гильбертовым комплексом

2. 1. Предварительные сведения об операторах в

банаховых пространствах

2. 2. Соболевские пространства, ассоциированные с

замкнутым оператором
2. 3. Гильбертовы комплексы

Введение
Согласно известной теореме де Рама [1] у гладкого многообразия М сингулярные когомологии с вещественными коэффициентами совпадают с когомологиями комплекса де Рама
О —> (1°(М) ПМ) U üj{M) ■ ■ ■,
где Qi(M)- пространство гладких дифференциальных форм степени j на М, а d- оператор внешнего дифференцирования. Еще в 50- е годы было показано, что на замкнутом римановом многообразии пространство когомологий изоморфно пространству гармонических форм. Оператор ? * Ходжа на римановом многообразии позволил ввести на пространстве
Dj(M) дифференциальных форм степени j с компактными носителями, лежащими в Int М, внутреннее произведение
(ю,в) — I ш Л *в,

пополнение .пространства D*(M) относительно которого совпадает с гильбертовым пространством Ь32{М) дифференциальных форм степени j на М, удовлетворяющих условию ЦшЦз = /м U) Л < оо.
При этом оператор внешнего дифференцирования d : Di {М) —> D3+1(M) можно расширить до замкнутого оператора, заданного на под-d! пространстве пространства Ь2{М). Именно, будем считать, что форма ip
лежит в области определения оператора d, если и только если существует последовательность {vfy} С°°— форм такая, что tpß и dtp^ сходятся в норме || • Цг- Положим dtp = lim dtp и-
ц-too
Использование методов гильбертова пространства сделало возможным получить различные варианты разложения Ходжа- Кодаиры [
3]. Это позволило Коннеру [4] поставить задачи Дирихле и Неймана для дифференциальных форм на римановом многообразии и исследовать вопросы их разрешимости.
В 1976 г. в работе [5] М. Атья впервые определил L2— когомологии ри-манова многообразия и положил начало их использованию для изучения v некомпактных римановых многообразий и римановых многообразий с

особенностями. В дальнейшем L2— когомологии изучались М. Гаффни, Дж. Доджиком, Дж. Нигером, М. Громовым, В. Мюллером, С. Дукером, В. Пансю и другими авторами. В 80- е годы В. М. Гольдштейн, В. И. Кузьминой и И. А. Шведов ввели в рассмотрение Lp— комплекс де Рама риманова многообразия М и начали изучать его Lp— когомологии. Эта тематика активно разрабатывается ими в настоящее время.
На п— мерном римановом многообразии М для каждой дифференциальной формы о; определен ее модуль х Н- |ш(ж)|. Для 1 < р < оо и непрерывной положительной функции т на М пусть символ LUM, т) обозначает банахово пространство, образованное измеримыми формами степени j на М, модуль которых интегрируем с весом т в степени р на М для р < оо и удовлетворяет условию ess sup и(х)т(х) < со для р = оо.
Норма в пространстве L*p{M, т) вводится формулой
( {/ w(x)pMTp(x)dx}llp, если 1 < р < оо, м^ц . _ J м
1?р(м,т) | ess sup cj(x)mt(x), если р — оо.
V ж€А/
Через Di(M) обозначим векторное пространство форм степени j на М с компактными носителями, содержащимися в Int М.
Дифференциальная форма ф 6 L^^M) называется (обобщенным) дифференциалом du формы и € Ь-[1ос(М), если для любой формы и G Dn~i~l(M), носитель которой лежит в ориентированной области, и ее обычного внешнего дифференциала du выполняется равенство
Замыкание в пространстве У£(М, т) подпространства 0*(М) будем обозначать через Ш (М, т).

Положим
Wi(M,T) = {и Є ЩМ,т)ви Є Up+l(M,r)}. Норму в пространстве (М, т) введем формулой

категория ТорУ есЬ всех топологических векторных пространств. В специальной полуабелевой категории справедливо следующее
Следствие 1.1 Пусть Л- специальная полуабелева категория. Тогда когомологическая последовательность (1.17), соответствующая короткой точной последовательности комплексов (1.15) точна.
Теорема 1.2. Для короткой точной последовательности комплексов (1.15) с когомологической последовательностью (1.17) выполнены утверждения:
1) если <Тд1,<Тв, Н^ф) Е Ор, то {(1%в Е Ом => дгА Е Ор);
2) если дгв, <ТА1, Нг+1(ср) Е Ор, то (сТА1 Е Ом =3- дгс Е Ор);
3) если дгА, <ТС, Аг Е Ор, то {дгс Е Ом => д1в Е Ор);
Доказательство. Строго точной последовательности комплексов полуабелевой категории А
соответствуют коммутативные диаграммы
——> Coker (ГД1 ——» Coker d1^1 > О
“Ц «Ц (1.18)
> Ker 4+1 > Ker djt

где ф1~1 = coker <рг~г, Я* (А) Ч Яг(В) Ч Яг'(С) А Яг+1(А) Ят(В) Яг+1(С).
причем морфизмы агл, а'в, а1с в диаграмме (1.18) удовлетворяют следующим соотношениям:
(kei dlA1)aA(coker сРд1) = dA, (ker <^х)ад (coker дД1) = dB,
Coker dA

0 > Ker^+
(kerdlQl)alc(cokerdlc x) = dlc.