Свободные топологические группы и локально выпуклые пространства

• Автор: Сипачева, Ольга Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 226 с.

Оглавление
Введение

Терминология и обозначения

Глава 1. Описание топологии свободной группы в терминах продолжения псевдометрик. Вложения и полнота свободных топологических групп

§1.1. Терминология и обозначения

§1.2. Схемы слов

§1.3. Определение семейства б

§1.4. Определение функций N и N

§1.5. Леммы

§1.6. Утверждения

§1.7. Определение и свойства полунорм || • \ц

§1.8. Основные утверждения
§1.9. Вложения свободных топологических групп
§1.10. Полнота свободных топологических групп
§1.11. Нульмерные свободные топологические группы
Глава 2. Свободные топологические группы с факторными отображениями умножения и топологиями
индуктивного предела
§2.1. Факторность отображения умножения
§2.2. Факторные отображения на слова ограниченной длины в свободных топологических группах
§2.3. Свободные топологические группы с топологией индуктивного предела
§2.4. Факторность отображения умножения и топология индуктивного предела в свободной группе

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 3. Ретракты свободных групп и локально
выпуклых пространств. Кружевные свободные ЛВП
§3.1. Компактные ретракты топологических групп
§3.2. Кружевные свободные локально выпуклые пространства . . . 133 §3.3. Ретракты локально выпуклых пространств
Глава 4. Свойства типа локальной инвариантности
в свободных топологических группах. Разные топологии на свободных группах и векторных пространствах
§4.1. т-Локально инвариантные группы
§4.2. Конструктивный метод топологизации свободных групп . . . 188 §4.3. Топологии на свободных векторных пространствах. Свободные ЛВП и пространства функций
§4.4. Замечания о свободных ЛВП
Литература

Введение
В самом начале 1940-х годов A.A. Марков ввел понятие свободной топологической группы тихоновского топологического пространства, руководствуясь аналогией между группами абстрактными и группами топологическими. Данное им определение свободной топологической группы было вполне аналогично определению абстрактной топологической группы. Как показал Марков, любая топологическая группа является фактор-группой некоторой свободной топологической группы. Таким образом, свободные топологические группы занимают в теории топологических групп такое же место, какое в теории абстрактных групп занимают свободные группы.
За последующее десятилетие Граев, Накаяма и Какутани значительно упростили доказательства основных утверждений марковской теории свободных топологических групп и получили ряд новых теорем о свободных топологических группах, более полно вскрывающих их строение и в определенной мере параллельных результатам теории абстрактных свободных групп. Полученные результаты привлекли внимание А. И. Мальцева, который считал, что наиболее естественное место теории абстрактных свободных групп — в рамках общей теории алгебраических систем, и побудили его создать общую теорию свободных топологических алгебраических систем. Он написал большую статью, которая вышла в свет в 1957 году в «Известиях» [16] и в которой излагались основы теории свободных топологических универсальных алгебр с самых общих позиций (в частности, он не требовал тихоновости от порождающего топологического пространства, и место вложения порождающего пространства в свободную топологическую группу занимало непрерывное каноническое отображение этого пространства в его свободную топологическую универсальную алгебру). В той же статье Мальцев конструктивно описал топологию свободной топологической универсальной алгебры при помощи трансфинитного процесса неопределенной длины и поставил задачу явного описания топологии свободных топологических групп для произвольных тихоновских пространств (для компактов1^ эта задача была решена еще Граевым в конце 1940-х годов).
9 Под компактами мы подразумеваем хаусдорфовы компактные (не обязательно метризуемые) пространства.
§1.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЕМЕЙСТВА &
Возьмем частично упорядоченное множество (Р, !ь).
Пусть А — счетное семейство непустых подмножеств в Р, перенумерованных неотрицательными целыми числами:
А — {Ак: к Е N0}.
Рассмотрим множество 6 = б(Р) троек в = (А, Т, Т), удовлетворяющих следующим условиям:
0°. а)
А = {Ак: к Е N0 }, где А/с — непустые дизъюнктные антицепи в Р;

ЭГ={Р*:Л 6М0}
— набор семейств
Рк ~ {/а '■ 01 Е Ак}
непрерывных неотрицательнозначных функций на X таких, что для любых х Е X и к Е N0 множество {а Е Е Ак: /а(х) ф 0} конечно;

2) = {4: к Е N0}
— семейство непрерывных псевдометрик на X.
Всякий раз, когда мы говорим об элементе в семейства 6, мы подразумеваем, что в = (А, У, О) и множества А, 3 и ® имеют вид, указанный в условии 0°. Символы А, Т, Т>, А, Е, / и 6 со штрихами, индексами и иными пометками относятся к в с теми же пометками. Например, в' = (А', Т, Т>'), А' — {А'к: к Е М0} и т. п.
1°. Если к < т, то
а) А-к 51 Ат',
б) для любых х Е X и а Е Ак