Когомологии пространства свободных петель односвязных 4-мерных многообразий

• Автор: Онищенко, Александр Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с.

Содержание
Введение
1 Минимальная модель X5'1 для односвязного 4—многообразия
1.1 Минимальная модель односвязного 4-многообразия и ее свойства
1.2 Минимальная модель
1.3 Разложение минимальной модели X^ в прямую сумму
для коформальных X
1.4 Спектральная последовательность Е^л минимальной модели Xя
1.5 Вырождение Е%’9 для односвязных 4-многообразий
2 Спектральная последовательность минимальной модели расслоения
2.1 Пример не совпадающих спектральных последовательностей с одинаковыми членами Е
2.2 Некоторые общие замечания о спектральных последовательностях
2.3 Эквивалентность для случая гладких форм
2.4 Эквивалентность в минимальной модели
2.5 Связь с последовательностью Лере-Серра
2.6 Лемма о продолжении
3 Связь морфизма пересечения со спектральной последовательностью расслоения.
3.1 Связь морфизма пересечения со спектральной последовательностью расслоения
3.2 Вычисление четвертого столбца спектральной последовательности расслоения X5' X для односвязных 4-многообразий
4 Вычисление центра иЬх
4.1 Базис Гребнера-Ширшова идеала
4.2 Вычисление центра 2Г(7/(Х))
5 Вычисление ряда Гильберта 77* (Х51)
5.1 Отображение (3 в когомологиях
5.2 Вычисление
5.3 Вычисление |у=
6 Приложение. Вычисления Нп(Хь") для конкретных 62 и

Введение
Рассмотрим замкнутое односвязное многообразие X. Через X51 обозначим пространство свободных петель над X, т. е. пространство непрерывных отображений стандартной окружности S1 = {х £ С, |х = 1} в X. Это пространство может быть представлено также в виде расслоения -АТ'“’1 —^ X, где ИХ — пространство петель с отмеченной точкой. Работа посвящена вычислению когомологий пространства с рациональными коэффициентами в том случае, если X — произвольное односвязное 4-многообразие.
Свойства пространства Xs1 в настоящий момент активно изучаются. В частности, интерес вызывает изучение некоторых алгебраических структур, таких как произведение петель (loop product), структуры когомологий Хохшильда, структуры алгебры Баталина-Вилковиского. Более подробный обзор можно найти в работах [17], [18] и [19].
Одним из направлений в изучении свойств пространствах5’1 является задача вычисления когомологий H*(Xsl] Q). Результаты вычислений H*(XS>) известны для X = Sn, для X = СРп [24]. Мы также считаем известными когомологии H*(Xsl) для тех односвязных четырехмерных многообразий, у которых второе число Бетти Ъ2 меньше или равно двум, так как они могут быть получены из работ [20, 24].
В нашей работе мы вычисляем H*(Xsl, Q) для односвязных четырехмерных многообразий, у которых второе число Бетти Ь2 больше двух. Сложность данной задачи, как будет видно из дальнейшего, заключается в том, что для рассматриваемого случая размерности пространств Нп(Х6'1, Q) растут экспоненциально вместе с п.
По видимому, наиболее мощным аппаратом для решения данной за-

Доказательство теоремы 11.3. Член Ер,(^ = IIp+q(F^0V/F^v1fl*(E)) вычислен в доказательстве теоремы 9. Дифференциал d этой последовательности равен дифференциалу dx-
Выше было показано, что ЕД — 0 Cp~k (V,Нч+к {F{;jFk^n*(V),dF)),

причем дифференциал <Д этой спектральной последовательности равен dx i S.
Применим лемму 2. Для фиксированного q положим Хк = Hq+k(F^OT/F^1Ü,k+q(E), dp). Рассмотрим бикомплекс Кк’1 = Cl(V, Hk+q{Fk10T/F^T1Cl*(V), dp)) с дифференциалами d = dx и d2 = S. Ясно, что ((Tot К)р, dx ± ö) = (E'q,dx ± ö). Легко видеть, что (J* о j*) : (Xk, dx) —» (Kk,0,dx ± tf) является окаймлением.
Из леммы 2 следует, что отображение (Joj)* : АДп*) — Н(F. dx) —»
II(Tot K,D) = Е2 является изоморфизмом, при условии, что точна I юследовательность
О _ Hq+k(FlJF£rlQ*(E)) JU C°(-V, Hq+k(FpjFl^Ft{V),dF)) • • • Это было доказано в лемме 3. □
2.4 Эквивалентность в минимальной модели.
В данном разделе мы докажем теорему о совпадении третьей и четвертой спектральной последовательности, определенных в начале главы. Пусть В — но прежнему односвязное компактное многообразие, а 7г : Е —В — расслоение в смысле Серра над В.
Напомним определение минимальной модели расслоения. Пусть тп :
(АV,d) —» АрДВ) — минимальная модель пространства В. Проекция 7г : Е —» В индуцирует отображение -к* : АрДВ) -—» АрДЕ). Тогда для отображения я* о тв • (АП, d) —>• АрДЕ) существует относитель-