Группы голономии лоренцевых многообразий и супермногообразий

• Автор: Галаев, Антон Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 245 с.

Оглавление
Введение

1. Классификация алгебр голономии и тензоров кривизны ло-ренцевых многообразий

1.1. Группы и алгебры голономии: определения и факты

1.1.1. Группы голономии связностей в векторных расслоениях

1.1.2. Группы голономии псевдоримановых многообразий

1.1.3. Связные неприводимые группы голономии римановых и псевдоримановых многообразий

1.2. Слабо неприводимые подалгебры в

зо(1,п+1)

1.3. Тензоры кривизны и классификация алгебр Берже

1.3.1. Алгебраические тензоры кривизны и классификация алгебр Берже

1.3.2. Тензор кривизны многообразий Волкера
1.4. Пространства слабых тензоров кривизны
1.4.1. Результаты
1.4.2. Явный вид некоторых Р Є Т(Ь)
1.4.3. Вычисление пространств 'Р(Ї))
1.5. О классификации слабых алгебр Берже
1.5.1. Продолжения Танака
1.5.2. Полупростые, не являющиеся простыми, слабые алгебры Берже

1.5.3. Дальнейшие замечания
1.6. Конструкции метрик и классификационная теорема
2. Применения
2.1. Уравнение Эйнштейна
2.1.1. Алгебры голономии лоренцевых многообразий Эйнштейна
2.1.2. Примеры метрик Эйнштейна
2.1.3. Лоренцевы многообразия с тотально изотропным оператором Риччи
2.1.4. Упрощение уравнения Эйнштейна
2.1.5. Примеры в размерности
2.2. Псевдоримановы многообразия с рекуррентными спипорными
полями
2.2.1. Спинорные представления
2.2.2. Римановы многообразия
2.2.3. Лоренцевы многообразия
2.2.4. Псевдоримановы многообразия с неприводимыми алгебрами голономии
2.2.5. Псевдоримановы многообразия нейтральной сигнатуры
2.2.6. Связь с параллельными спинорными полями spinc-расслоений
2.3. Конформно плоские лоренцевы многообразия со специальными
группами голоиомии
2.3.1. Результаты
2.3.2. Разложимость конформно плоских псевдоримановых многообразий
2.3.3. Тензор конформной кривизны Вейля метрик Волкера
2.3.4. Доказательство теоремы
2.3.5. Доказательство теоремы

2.3.6. Доказательство теоремы
2.3.7. Оператор Риччи полученных метрик
2.3.8. Случай размерности
2.4. 2-симметрические лоренцевы многообразия
2.4.1. Алгебра голономии 2-симметрического лоренцева многообразия
2.4.2. Доказательство теоремы
2.4.3. Доказательство теоремы
3. Теория групп голономии супермногообразий
3.1. Общая теория
3.1.1. Супералгебры Ли
3.1.2. Супермногообразия
3.1.3. Определение группы голономии связности на локально свободном пучке над супермногообразием
3.1.4. Параллельные сечения
3.1.5. Случай линейных связностей над супермногообразиями
3.1.6. Супералгебры Берже
3.1.7. Группы голономии локально симметрических суперпространств
3.2. Случай нечетных супермногообразий
3.2.1. Косые продолжения алгебр Ли
3.2.2. Нечетные симметрические суперпространства и простые супералгебры Ли
3.2.3. Неприводимые комплексные косые алгебры Берже
3.2.4. Неприводимые алгебры голономии несимметрических нечетных римановых супермногообразий
3.3. Группы голономии римановых супермногообразий
3.3.1. Обобщение теоремы Ву

разия содержится в u(po, %pi, qi). По определению, специальным кэлеровым супермногообразием или супермногообразием Калаби-Яу называется Риччи-плоское кэлерово супермногообразие.
Предложение 3.3.1 Пусть (М., g) — кэлерово супермногообразие, тогда Rie = 0 тогда и только тогда, когда )0(А4,д) С зи(ро> Ço|Pi> Çi)-
Римановы супермногообразия с алгебрами голономии osp(p,q2m) представляют собой случай „общего положения”. Приведем геометрические характеристики односвязных супермногообразий с алгебрами голономии д, отличными от osp(p,q2m):
g С osp(p2k, С): голоморфные римановы супермногообразия; g С u(po) QolPh Qi)' кэлеровы супермногообразия;
g С зи(ро, qopi, qi): специальные кэлеровы супермногообразия или супермногообразия Калаби-Яу;
g С ()озр(г, sk): гиперкэлеровы супермногообразия;
g С [)03р(г, sk) ®зр(1): кватернионнокэлеровы супермногообразия;
g С ospsk(2kr, s) ®sl(2,R): паракэлеровы супермногообразия;
g С ospsfc(2|C) ®з[(2, С): голоморфные паракэлеровы супермногообразия.
Предложение 3.3.1 Пусть (A4, д) — кватерпиопнокэлерово супермногообразие, тогда Rie = 0 тогда и только тогда, когда
t)ol(M,g) С [}05р(ро> 9о|ръ Qi)- В частности, если (М.,g) — гиперкэлерово супермногообразие, тогда Rie = 0. Если М — односвязно, а (A4, g) — ква-терниопнокэлерово, и Rie = 0, то (A4,g) — гиперкэлерово.
Естественной проблемой является проблема построения примеров супермногообразий с каждой из полученных алгебр голоиомии. Примеры суперм-ногообразий Калаби-Яу построены в [8]. Примеры кватернионнокэлеровых супермногообразий построены в [55].