Обобщения функции расстояния римановых многообразий и двухточечная краевая задача для гироскопических систем

• Автор: Ершов, Юрий Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 92 с.

1 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЦЕЛОМ И ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

§ 1. Пространства путей и основы вариационной теории

геодезических

1.1. Пространства кусочно-гладких путей

1.2. Теория Морса

1.3. Принцип минимакса Биркгофа

1.4. Примеры

§2. Гироскопические системы и многозначные

функционалы

2.1. Гироскопические системы

2.2. Функционал действия

2.3. Экстремали и уравнения движения
§ 3. Двухточечная краевая задача для гироскопических
систем
3.1. Многообразия типа Калуцы-О. Клейна
3.2. Теорема редукции
3.3. Теорема существования решений

2 ОБОБЩЕНИЯ ФУНКЦИИ РАССТОЯНИЯ РИМАНОВА МНОГООБРАЗИЯ
§ 1. Свойства критических уровней функционала длины,
порожденных гомологическими классами
1.1. Исследование множеств £ЦМ, V, го)
1.2. Сдвиг концевых точек и его применения
§ 2. Функции Я^.-расстояния
2.1. Построение и основные свойства
2.2. Классы гомологий, реализующие Я*-расстояние
2.3. Связь с геодезическими
2.4. Зависимость от номера к
§ 3. Некоторые обобщения
§ 4. Примеры
3 НОВЫЕ РЕШЕНИЯ ДВУХКОНЦЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 1. Пространства путей базы и тотального пространства
почти главного расслоения
§ 2. Теоремы существования экстремалей для
натуральной системы с гироскопическими силами
2.1. Экстремали в общем случае
2.2. Случай несопряженных точек
§ 3. Гироскопические системы с двумерным
конфигурационным многообразием
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность темы Пусть (В, к) - риманово многообразие, В - замкнутая 2-форма наВи«:В->1- гладкая функция. Тогда четверку Г = (В, /г, Е1, л) называют натуральной механической системой с гироскопическими силами или гироскопической системой. При этом В - конфигурационное многообразие системы, /г/2 - форма кинетической энергии, Т - форма гироскопических сил, и - потенциальная энергия. Если интеграл от формы Г хотя бы по одному двумерному сфероиду многообразия В отличен от нуля, то функционалы действия Бь системы Г многозначны.
Как показано С.П. Новиковым и И. Шмельцером [24, 25, 26], к анализу экстремалей многозначных функционалов такого типа сводится ряд важных задач математической физики, например:
1) задача Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной жидкости, движение которой потенциально и которая покоится на бесконечности;
2) задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в осесимметричном, - в частности, постоянном -гравитационном поле (волчок, гироскоп и др.);
3) задача о движении заряженной пробной частицы в магнитном иоле с монополями Дирака.
Как известно, в задаче с закрепленными концами для многозначных функционалов 3$ стандартные методы и результаты вариационного исчисления неприменимы [24]. Поэтому для ее изучения потребовалось создание новых подходов.
Первый подход основан на применении симплектической топологии. Разработка и обсуждение этого подхода содержится в

последовательность {(ап,юп)}пе^ С М х М. В силу доказанных выше свойств 2 и 3,
|4К,гит) - 4(п,ги)| ^ с10(у,ап) + 4(гу,шп). (2.20)
Поскольку Нгнп^оо уп = V и НгПп-.оо юп = ю, то из (2.20) немедленно следует СХОДИМОСТЬ последовательности бк(уп,УОп) к числу 4(^, ш). Теорема доказана. □
Согласно доказанной теореме, имеет смысл следующее определение.
Определение 2.1. Для каждого к £ №(М) построенное
посредством формулы (2.18) отображение 4 : М х М —> К назовем функцией Нк-расстояния на (М,д).
Замечание 2.4. Из свойств 1 и 3 очевидно следует и обычное неравенство треугольника 4(^> 'ш') ^ 4(^, ю) + 4(^, ?;;/).
2.2. Классы гомологий, реализующие Н^-расстояние
Теорема 2.2. Пусть к £ М*(М) и V,ги - произвольные точки многообразия М. При выполнении хотя бы одного из условий:
1. точки V и гг не сопряжены ни на одной геодезической, их соединяющей;
2. группа Нк{0,(М, и, га)) конечно порождена,
существует элемент а £ ЯДГ2(М, V, га)) такой, что с1к(у,га) — 1а.
Доказательство. Выберем и зафиксируем произвольное число Ь > дк(у,ги). Рассмотрим подпространство
б11{М,у,га) — {х £ П(М, а, га)С{х) < Ь},