Связности на оснащенных многомерных поверхностях в конформном пространстве

• Автор: Зверева, Татьяна Витальевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Чебоксары
• Количество страниц: 121 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. Исторический обзор
2. Общая характеристика диссертации
1. Постановка вопроса и актуальность темы
2. Цель работы
3. Методы исследования
4. Научная новизна '
5. Теоретическая и практическая значимость
6. Апробация
7. Публикации
8. Вклад автора в разработку избранных проблем
9. Структура и объём работы
10. Некоторые замечания
3. Содержание диссертации
Глава I ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНО-
СТИ Н„_, В ПРОСТРАНСТВЕ КОНФОРМНОЙ СВЯЗНОСТИ Спп
§1. Конформное пространство С„
§2. Пространство конформной связности Сп
§3. Гиперповерхность Пи_, в пространстве конформной связности Сп<а
1. Дифференциальные уравнения гиперповерхности Еп_, пространства конформной связности С„ п
2. Внутренние оснащения гиперповерхности Е„_, в Сп п
§4. Пространства аффинной связности на оснащенной ги-
перповерхности Уп_х пространства конформной связности

1. Теорема Картана-Лаптева
2. Аффинные связности на гиперповерхности Уп_] а С,, п
§5. Конформные связности на гиперповерхности ¥п_х в пространстве конформной связности С
§6. Нормальные связности на гиперповерхности Ц|_1 с Сп п

Глава II АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА МНОГОМЕРНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ Ут В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ С„ (/// <п-1) И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ СЕТЕЙ
§1. Поверхность Ут в конформном пространстве Сп
1. Дифференциальные уравнения многомерной поверхности Ут
в конформном пространстве Сп
2. Гиперполоса Нт, ассоциированная с многомерной поверхностью Ут в конформном пространстве Сп
3. Частичные и полные оснащения поверхности Ут в Сп
§2. Аффинные связности, индуцируемые нормальным ос-
нащением поверхности Ут в конформном пространстве С„
§3. Приложение аффинной связности к изучению внутренней
геометрии сетей на многомерной поверхности Ут а Сп
1. Дифференциальные уравнения сети на поверхности Ут в

2. /77 -сопряжённая система в конформном пространстве

3. Сеть линий кривизны на поверхности Ут с: С„
4. Чебышевские и геодезические сети на многомерной поверхности Ут в конформном пространстве Сп
5. Ортогональная сопряженная чебышевская сеть на поверхности Ут с; Сп
Глава III КОНФОРМНЫЕ И НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА
МНОГОМЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ Ут В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Сп
§1. Конформные связности на вполне оснащенной поверхности Ут конформного пространства Сп
1. Пространство конформной связности Стт, индуцируемое
касательным оснащением многомерной поверхности У с: С
гт *
2. Нормализованное пространство конформной связности

3. Пространство конформной связности Синдуцируемое
полным оснащением поверхности Ут в С,

§2. Нормальные связности на оснащенной поверхности Ут
конформного пространства С„, т<п-
1. Нормальная связность Vх, индуцируемая нормальным оснащением поверхности Ут в С„

2. Нормальная связность V на нормально оснащенной поверхности Ут конформного пространства Сп

3. Нормальная связность Vх, индуцируемая полным оснащением поверхности Ут конформного пространства С„
§3. Параллельные перенесения инвариантных полей пучков
гиперсфер в нормальных связностях на поверхности

1. Инвариантные прямые на регулярной квадратичной гиперполосе Нт сР„+|
2. Поля направлений, параллельно переносимые в нормальных
связностях Vх, Vх и Vх
ЛИТЕРАТУРА

гиперсферы действительных радиусов пространства С„ отображаются в точки пространства Р„+ь лежащие вне овальной гиперквадрики (1.8).
Справедливо и обратное; именно, если в проективном пространстве Р,1+1 задана неподвижная гиперквадрика овального типа О),, то, как известно [8], [65], точкам пространства Р„.ц с помощью стереографической проекции ставятся в соответствие либо точки, либо гиперсферы (действительного ИЛИ МНИМОГО радиусов), либо гиперплоскости П,;_1 (проходящие через одну точку, называемую несобственной), которые являются образующими элементами конформного пространства С„.
Это говорит о том, что каждый центропроективный слой Р,г,1 пространства проективной связности Р„,/!+1 с нолем локальных гиперквадрик Дарбу (1.26) изоморфен конформному пространству С„.
Итак, если пространство проективной связности Рад, 1 обладает инвариантным полем локальных гиперквадрик Дарбу {Уп, то уравнение локальной гиперквадрики в полуизотропном репере запишется в виде (1.26), где компоненты поля симметричного тензора gи удовлетворяют уравнениям (1.3 Зб), причем формы связности пространства Р„,„+| связаны зависимостями (1.331_5) и компоненты его тензора кривизны-кручения удовлетворяют соотношениям (1.32).
Обратно, если коэффициенты гиперквадрики (1.26) удовлетворяют уравнениям (1.33б), то их совокупность представляет собой систему вида с1ХА = £,"(Х)(йи для объекта ХА = {£/,/}■ В силу этого поле геометрического объекта {^и }, то есть поле локальных гиперквадрик Дарбу (1.26) инвариантно относительно связности пространства Р„,„ц; последнее означает, что пространство Р,м,-ц с инвариантным полем локальных гиперквадрик Дарбу (1.26) изоморфно пространству конформной связности С„,„. Доказана
Теорема 1.1 .Для того чтобы пространство проективной связности Р,,я1 обладало инвариантным полем гиперквадрик (1.26) овального типа, то есть чтобы оно было изоморфно пространству конформной связности СД,,, необходимо и достаточно, чтобы в полуизотропном репере выполняюсь система дифференциальных уравнений (1.33).
Заметим, что наличие в 1 инвариантного поля локальных гиперквадрик Дарбу овального типа (1.26) приводит к конечным соотношениям (1.32) для компонент его тензора кривизны-кручения. Одновременное выполнение этих соотношений есть условие полной интегрируемости объединенной системы дифференциальных уравнений (1.33); при этом широта (л + 2)(и + 3)
решения ее есть —----------- произвольных постоянных.
Отметим, что:
1) система функций {Щрд}, удовлетворяющих конечным соотношениям (1.32), есть тензор кривизны-кручения пространства конформной