Конформно-дифференциальная геометрия гиперполосы

• Автор: Михайлова, Алина Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Чебоксары
• Количество страниц: 112 с.

Общая характеристика диссертации

1. Постановка вопроса и актуальность темы. Евклидово п-мерное пространство, дополненное одной бесконечно удаленной точкой, в котором действует группа конформных преобразований, называется конформным пространством Сп. Конформно-дифференциальная геометрия изучает локальные свойства многообразий геометрических образов пространства Си, остающиеся неизменными при конформных преобразованиях этого пространства.
Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства начала развиваться в рамках классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров. В начале двадцатого века в работах Фосса, Роте, Огура, Фубини строятся конформно-дифференциальные инварианты поверхности и конформноинвариантные квадратичные формы. Полисферическая система координат для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей введена в рассмотрение впервые в работе Томсена[73], опубликованной в 1924 г. Вессио[75] изучает конформную геометрию двумерной поверхности в пространстве С3, пользуясь пентасферическими координатами.
Теория связностей занимает в дифференциальной геометрии существенное место и восходит к работам Т.Леви-Чивита, Г.Вейля, Э.Картана, Щ.Эресмана, В.В.Вагнера, А.П.Нордена, Г.Ф.Лаптева, П.К.Рашевского,
А.М.Васильева, Ю.Г.Лумисте, Л.Е.Евгушика и многих других геометров. Специальное место в общей теории занимает теория связностей в однородных расслоениях; в рамках этой теории линейные связности чаще всего находят приложение при изучении геометрии оснащенных подмногообразий.
Следует отметить, что аффинные и проективные связности изучались в работах многих геометров. Понятие п-мерного пространства конформной

связности появилось в работах Э. Картана (см. [22]) в 1923 г., в которых он рассматривает m-мерную поверхность в пространстве конформной связности, также конформные связности, индуцируемые на этой поверхности связностью объемлющего пространства, вопросы конформного отображения и наложимости таких поверхностей. В работах С.Сасаки [68], [69] в 1939-40 гг. развивается теория кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности.
Б.А. Розенфельд [45],[46] применяет к изучению конформной геометрии общую теорию образов симметрии в однородных пространствах. Исследования P.M. Гейдельмана [17]-[19] посвящены изучению фокальных

свойств конгруэнции m-мерных сфер S”' пространства Сд. Работы

В.И.Ведерникова [12]-[16] посвящены теории конгруэнции гиперсфер в пространстве Сп и конформному изгибанию нормализованных поверхностей.
При построении теории многомерных поверхностей в аффинном, проективном и конформном пространствах встречается ряд трудностей. Эти трудности связаны с тем, что на поверхностях в этих пространствах не удается определить инвариантные связности, пользуясь их первыми дифференциальными окрестностями. Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А.П.Норден разработал метод нормализации [37]-[40]; в указанных работах, а также в совместной с Г.В.Бушмановой работе [10] им получены существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий.
Новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью,

был развит Г.Ф.Лаптевым[23]. При этом задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциальногеометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Метод Г.Ф. Лаптева был применен М.А.Акивисом [1],[2],[б2] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, т-мерных поверхностей п-мерного конформного и псевдоконформного пространств. В его работах в третьей дифференциальной окрестности построено инвариантное полное оснащение т-мерной поверхности и гиперповерхности п-мерного конформного пространства, то есть каждой точке поверхности внутренним образом
присоединены ш-мерная касательная сфера Б'" и нормальная (п-т)-сфера
Б" т. С помощью инвариантного оснащения на поверхностях строятся конформная связность и связность Вейля, внутренним образом присоединенные к этой поверхности, а также система конформно-инвариантных тензоров, определяющих поверхность Ут конформного пространства с точностью до конформных преобразований. В своих исследованиях М.А.Акивис изучает также поверхности, несущие сеть линий кривизны.
Подробный обзор работ по конформно-дифференциальной геометрии, выполненных до 1963 года, сделан в работе М. А. Акивиса [3]. Остановимся на исследованиях геометров, выполненных после 1964 года.
Н.В.Шульга[59] вводит понятие пары Т т-мерных поверхностей 11-мерного конформного пространства Сл и пары ©двумерных поверхностей псевдоконформного пространства 2С4, изучает их геометрию, используя интерпретации Дарбу и Плюккера. Следует отметить, что интерпретации Дарбу п-мерного конформного пространства в (п+1)-мерное проективное пространство в последние десятилетия зарубежными геометрами уделяется большое внимание[70]-[71],[74],[76]-[79].

Условием полного оснащения распределения М(Ы) является выполнение соотношений
(Хп+1Ра) = (Х„+1Р1) = 0- (1.41)
с использованием разложений (1.26),(1.39) последние соотношения равносильны равенствам
ха = = -ё^1, (1.42,)
или, что то же самое,
*в*-гч,1?,*'=У4 (1.42.)
Координаты точки Хп+1 (см.(1.39)) удовлетворяют уравнению гиперквадрики Дарбу (1.11), откуда с использованием равенств (1.27),(1.422) находим:
Х° = +Ш<Фх1х°0 (1.43)
следовательно, точка Хп+1 (см.(1.39)) оснащающего поля в полуортого-нальном конформном репере К в силу (1.42г),(1.43) имеет разложение
Хп+1 = (Я°х°х° + ёаАх°4Н - КЦх)А, - §архАа + Ап+1 .(1.44)
В выражении (1.44) функции X? в силу отношений (1.14), (1.32), (1.402)-(1.40з), (1.42]) удовлетворяют уравнениям:
Ух- + со° = х?ка>*, (1.45,)
Ух1+т1 =х^а>*. (1.452)
При выполнении уравнений (1.45) имеем полное оснащение обоих ортогональных распределений М и N; при этом репер Я = [А0 ,Р!,Ра,Хп+1} является конформным полуортогональным: