Когомологии квазиоднородных компонент в пространстве модулей пучков

• Автор: Буряк, Александр Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 69 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Пространство модулей пучков на проективной плоскости

1.1. Пространство Л4(г,п)

1.2. Многообразие Л4о(г, п)

1.3. Когомологии многообразия М. {г, п)

1.4. Схема Гильберта (С2)^

Глава 2. Колчанные многообразия

2.1. Определение

2.2. Многообразие 9Я(г>, w) как подмногообразие в Л4(г, п)

2.3. Когомологии множества С*-неподвижных точек

2.4. Вспомогательное утверждение
Глава 3. Квазиоднородные схемы Гильберта
3.1. Описание неприводимых компонент
3.2. Производящий ряд многочленов Пуанкаре
3.3. Когомологии неприводимых компонент при а
3.4. Комбинаторные тождества
3.5. (q, £)-числа Каталана и схемы Гильберта
3.6. Вложенные однородные схемы Гильберта
Глава 4. Перечисление квазиоднородных компонент в М. (г, п)
4.1. Комбинаторное доказательство в случае а = (3
4.2. Доказательство в общем случае
Глава 5. Геометрическая интерпретация обобщения формулы Мак-
Магона
5.1. Формула Вулетич
5.2. Неприводимые компоненты М. (г, п)(сГ
5.3. Когомологии многообразия М.(г, n)iC
5.4. Комбинаторное тождество
Приложение А. Разбиения и диаграммы Юнга
А.1. Определения
А.2. ^-функции
А.З. Ядро разбиения
Приложение В. Некоторые сведения из алгебраической геометрии

В.1. Кольцо Гротенднка А'о(^с)
В.2. Клеточные разбиения алгебраических многообразий
В.З. Теорема Бялыницки-Бируля
Литература

Введение
Диссертация посвящена различным задачам геометрии схем Гильберта точек на комплексной плоскости, а также их обобщений - пространств модулей оснащённых пучков на проективной плоскости.
Схема Гильберта п точек на плоскости - это алгебраическое многообразие, параметризующее идеалы коразмерности п в кольце полиномов от двух переменных. Это пространство интенсивно изучается на протяжении последних 25 лет и является очень интересным объектом по многим причинам. Во-первых, его геометрия весьма нетривиальна и наделена разнообразными глубокими алгебраическими структурами. Во-вторых, это пространство богато связями с комбинаторикой, теорией представлений и математической физикой.
Первым толчком к изучению схем Гильберта, точек на плоскости послужила работа [7], где были вычислены их числа Бетти. Оказалось, что про изводящий ряд многочленов Пуанкаре схем Гильберта точек на плоскости очень красиво разлагается в бесконечное произведение. Кольцевая структура в когомологиях схем Г ильберта была определена в работе [8] с помощью образующих и неявного описания соотношений.
В работе [2 9) Накаджима с помощью изящных геометрических конструкций построил действие алгебры Гейзенберга в когомологиях схем Гильберта, тем самым получив глубокую интерпретацию с точки зрения теории представлений результата работы [7]. За этим последовала серия работ разных авторов, нацеленная на более явное описание кольцевой структуры в когомологиях схем Гильберта. В статье [25] кольцо когомологий было отождествление с некоторой явно описанной алгеброй дифференциальных операторов в кольце полиномов от бесконечного числа переменных. В работах [26] и [42] кольцевая структура была описана в терминах кольца функций на симметрической группе. В работе [35] было получено описание квантовых когомологий схемы Гильберта.
Геометрия схем Гильберта тесно связана с богатой теорией (д, £)-чисел Ка-талаиа. (д, 2)-число Каталана - это многочлен от двух переменных с неотрицательными целами коэффициентами, причём его значение при д = Ь = равно обычному числу Каталана. Эти многочлены были впервые введены в работе [14], точнее говоря, они были определены как рациональные функции, тот факт, что это многочлены был высказан в качестве гипотезы. Определение было мотивировано серией гипотез про диагональные гармоники (см. [19]) и

Теорема 3.14.

НЄвк г>7)(Н)
Д - (Іг+1+к + т(г) Ф+1 Ф+1+А
(Е*= ГГ —ї— ТТ

(А.+1){г
ді(к+1)г'
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Понятно, что (см. Лемму 3.7) последовательность Н является ^-допустимой тогда и только тогда, когда многообразие ((С2)^)^’к непусто. Значит, наша теорема следует из Теорем 3.1 и 3.4. □
Для /с-допустимой последовательности Н определим величину х{Н) равенством
х(н) = - Ф+1 + т(г))

Х ^2^г ~~ ^г+1 + Т^ ~ ^ + ~ ^1+3 ~ ^+з+1 + т<<1 + ■?))
Теорема 3.15.

НєЄк г>г)(Н)
^г+1+/г “Ь ^"(^) ^г+1 $г+1+к

Х{НЦ Е* =

1 — діг
В случае к — 1 это тождество было доказано в [24].
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим действие тора ТЦ на схеме Гильберта (С2)М. Обозначим через размерность притягивающегося слоя (см. Разд. В.З) для неподвижной компоненты ((С2)^])^. По Теореме Бялыницки-Бируля (см. Разд. В.З) мы имеем равенство
(С2)[-И

я=(<Мі, )єск
Е<*.=лг

Мы знаем, что (см. Разд. 1.3)
ЕМ-'-Пда
N>0 г>
Таким образом, из Теоремы 3.4 следует, что нам осталось только доказать, что
Ат—1
(3.4.1)

йн = XI + X] еМ о1(е‘ ~ ^ +

где ег = с1г — с11+ + т(г). Мы докажем формулу (3.4.1) индукцией по N. Она с очевидностью верна для IV = 0. Предположим, что АГ > 1. Рассмот-
( 1 Тц.(сР
рнм произвольную точку Р С ( ((С2)['У1) ) . Пусть У - соответствующая