Вложения многообразий в Евклидовы пространства

• Автор: Скопенков, Аркадий Борисович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 171 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА I. Введение и основные результаты

1.1. Введение

1.2. Основные определения

1.3. Зацепления и заузленные торы

1.4. Вложения высокосвязных многообразий

1.5. Инвариант Хефлигера-Ву вложений

1.6. О полноте инварианта Хефлигера-Ву

1.7. Инвариант Хефлигера-Хирша погружений

1.8. Инвариант Масси-Рольфсена сингулярных зацеплений

ГЛАВА 2. Метод разведения и его применения
2.0. Обозначения
2.1. Когомологическое препятствие Ван Кампена
2.2. Теорема Вебера
2.3. Простейший случай усиления теоремы Вебера
2.4. Общая теорема о разведении
2.5. Леммы о разведении и реализации
2.6. Сюръективность инварианта Масси-Рольфсена
2.7. Построение погружения
ГЛАВА 3. Вычисления взрезанного
КВАДРАТА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
3.1. Инъективность инварианта Масси-Рольфсена
3.2. Инъективность инварианта Хефлигера-Ву
3.3. Теорема о псевдоизотопии
3.4. Заузленные торы
3.5. Примеры неполноты инварианта Хефлигера-Ву
3.6. Доказательство теоремы Хефлигера-Хирша
Список работ по теме диссертации
Литература
Рисунки
ГЛАВА 1. Введение и основные результаты
1.1. Введение
Мотивировки.
Многие теоремы в математике утверждают, что любое пространство из данного абстрактно определенного класса всегда является подпространством некоторого ” стандартного” пространства из этого класса. Это такие теоремы, как теорема Кэли о вложении конечных групп в симметрическую группу, теорема о существовании точного линейного представления компактных групп Ли, теорема Урысона о вложении нормальных пространств со счетным базисом в гильбертово пространство, теорема общего положения о вложении конечномерных полиэдров в К, теорема Менгера - Небелинга - Понтрягина о вложении конечномерных компактов в Кт, теорема Уитни о вложении гладких многообразий в Мт, теорема Нэша о вложении римановых многообразий в Ет, теорема Громова о вложении симплектических многообразий в Ж2" и т.д. Решение тринадцатой проблемы Гильберта А. Н. Колмогоровым и В. И. Арнольдом можно также сформулировать на языке вложений. Эти теоремы вложимо-сти интересны не только сами по себе, но и как сильные инструменты для решения других задач. Одной из главных классических проблем топологии является более тонкая проблемы существования вложения данного пространства в Мт для данного т. Как писал Е. К. Зиман, три классические проблемы топологии — проблемы вложимости, заузливания и гомеоморфизма — требуют
найти условия того, чтобы данное пространство N было вложимо в М для данного т;
найти условия того, чтобы данные вложения /, д : N —» Мт были изотопны (а также описать множество изотопических класов вложений А —> Ет);
найти условия того, чтобы данные два пространства А и М были гомеоморфны (а также описать множество гомеоморфических классов многообразий из заданного класса, например, заданной размерности п).
Проблемы вложимости и заузливания уже сыграли выдающуюся роль в развитии топологии. Для решения проблем вложимости и заузливания были созданы различные методы такими классиками как Дж. Александер, П. С. Александров, Е. Ван-Кампен, К. Кура-товский, С. Маклейн, Л. С. Понтрягин, Р. Том, X. Уитни, X. Хопф,

и другими. В настоящее время исследование этих проблем переживает новый расцвет.
Проблемы вложения и заузливания являются частными случаями общей проблемы топологии о существовании и классификации отображений с заданными ограничениями на самопересечения: погружений, сингулярных зацеплений, почти вложений [БКТ94], квазивложений (фактически рассматривавшихся М. Хиршем и другими), а также вложений, аппроксимирующих данное отображение. Эту общую проблему естественно изучать в совокупности с проблемой вложений, поскольку они используют близкие методы. Поэтому в настоящей работе рассматриваются не только вложения, но и погружения, сингулярные зацепления, квазивложения и вложения, аппроксимирующие данное отображение. Однако поскольку случай вложений наиболее известен и наиболее сложен, а также поскольку наиболее яркие результаты работы относятся именно к этому случаю, в ее названии упоминаются только вложения.
Краткое описание классических результатов о вложениях, погружениях и сингулярных зацеплениях.
Наиболее известным частным случаем проблемы заузливания является теория вложений в коразмерности два (в частности, классическая теория узлов). В этой же работе рассматривается в основном случай вложений в коразмерности более двух (т. е. т — сйт./У > 2). Классическими результатами для этого случая являются теоремы классификации зацеплений, вложений сфер и вложений й-связных многообразий в К для тп > 2п — <1 (Р. Пенроуз, Дж. Г. К. Уайтхед, К. Зиман, М. Ирвин, Дж. Левин, Дж. Хадсон, А. Хефлигер М. Хирш). Проблема классификации вложений считается очень трудной, поскольку других случаев, для которых было бы получено конкретное описание (непустого) множества вложений с точностью до изотопии, нет. В то же время было получено много примеров, связанных с проблемой классификации вложений. Некоторые из них использовали заузленные торы, т.е. вложения декартовых произведений сфер (Дж. Хадсон, Р. Тинделл, Ж. Беша, А. Хефлигер, Р. Мильграм и Э. Рис).
Изучение вложений методом хирургии (Браудер, Левин, Новиков, Хефлигер и др.) дает хорошие результаты для простейших многообразий, но наталкивается на вычислительные трудности для более сложных многообразий. Наиболее сильный метод (в коразмерности более двух), позволяющий получать конкретные результаты — ме-

Для РЬ многообразия N (замкнутого или незамкнутого) обозначим через СІЕтЬто(.Х) множество собственных РЬ квазивложений N —У Вт, сужение которых на границу является вложением, с точностью до квазиконкордантности. Через д : ЕтЬт(./V) —> С^ЕтЬ7"^) обозначим естественное отображение. Следующая теорема неявно, доказана Хиршем.
Теорема 1.6.7лр Пусть N — гомологически ё-связное РЬ п-мно-гообразие (замкнутое или незамкнутое) и т > п + 3. Отображение д биективно при 2т > Зп + 3 — ё и сюръективно при 2т > Зп + 2 — ё.
Определим теперь инвариант Хефлигера-Ву
о : QEmbm(Л^) —> 7г^-1(Дг). Если / : N —> Вт является квазивложением, то отображение / : N — Вп —> 5т-1 корректно определено. Определим «(/) как эквивариантный гомотопический класс композиции эквивариантной ретракции N —¥ N — Вп и отображения /. Очевидно, что а о д = а.
Основная теорема 1.6.7.Й. Если N является замкнутым ё-связным РЬ п-многообразием, ё > 0 и т > п + 2, то бёр1 (И) инъективно при 2т > Зп + 2 — ё и сюръективно при 2т > Зп + 1 — ё.
Основная теорема 1.6.3 следует из теорем 1.6.7^ и 1.6.7.а. Заметим, что основная теорема 1.6.3 не следует просто из теорем
1.6.7.«<Э и 1.6.7-я: вложение / : N — Вп —> Ет, полученное из теоремы 1.6.7.а<9, может быть продолжено на N, но продолжение не обязательно является квазивложением.
При ш > п + 3 и 2т > Зп + 2 — ё (2т > Зп + 3 — ё) сюръек-тивность (инъективность) в основной теореме 1.6.7.о покрывается сюръективностью (инъективностью) в основной теореме 1.6.3.
Следствие 1.6.8. Если N ТОР квазивложимо в и отображение от(ІУ) сюръективно (см. теоремы 1.6.1, 1.6.3 и 1.6.7.ад), то N вложимо в Кт.
Если т > п + 2, от(Лг) инъективно (см. теоремы 1.6.1, 1.6.3 и
1.6.7.ад), и два вложения N —> Мт полиэдра N квазиконкорднтны, то они конкордантны.
Следствие 1.6.9. Пусть N является п-мерным полиэдром или гладким п-мерным многообразием, т > п + 2 и отображение ота (Лг) сюръективно (см. теоремы 1.6.1, 1.6.3 и 1.6.7.ад).