Дифференциальные комплексы, ассоциированные с пуассоновыми многообразиями

• Автор: Шурыгин, Вадим Вадимович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 135 с.

Глава 1 Слоения. Пуассоновы многообразия.

Расслоения Вейля

§1.1 Слоения на многообразиях

§1.2 Скобка Схоутена-Нейенхейса

§1.3 Пуассоновы многообразия

1.3.1 Симплектические многообразия

1.3.2 Пуассоновы многообразия

1.3.3 Когомологии Пуассона. Модулярный класс пуассонова многообразия

1.3.4 Дифференциал Кошуля

§1.4 Алгебры Вейля. Расслоения Вейля

§1.5 Структура фробениусовых алгебр Вейля

Глава 2 Квантовые когомологии де Рама
§2.1 Когомологии двойного комплекса Брылинского
§2.2 Квантовые когомологии де Рама
Глава 3 Пуассоновы структуры на расслоениях Вейля
§3.1 Лифты тензорных полей в расслоения Вейля
3.1.1 Реализации тензорных операций
3.1.2 Полный лифт ковариантных тензорных полей
3.1.3 Полный лифт контравариантных тензорных полей

3.1.4 Вертикальный лифт контравариантных тензорных полей
§3.2 Расслоения Вейля пуассоновых многообразий
3.2.1 Полный лифт нуассоновой структуры
3.2.2 Вертикальный лифт пуассоновой структуры
3.2.3 Полный лифт слоения. Связь слоевых когомологий слоения и его лифта
3.2.4 Полный лифт регулярной нуассоновой структуры
3.2.5 Модулярные классы лифтов пуассоновых структур на расслоениях Вейля
Список литературы
Список работ автора по теме диссертации

Актуальность темы. В настоящее время теория пуассоновых многообразий является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов современной дифференциальной геометрии, имеющим широкие применения в математической физике (см., например, монографии В.И. Арнольда и А.Б. Гивенталя [1], М.В. Карасева и В.П. Маслова [11], В.В. Трофимова и А.Т. Фоменко [23], [25], Дж. Марсдена и Т. Ратью [71], А. да Силвы и А. Вейнстейна [92], И. Вайсмана [97]).
Активно изучаются различные геометрические свойства пуассоновых структур, особенно в связи с задачами квантования. Здесь в первую очередь следует отметить основополагающую работу Ф. Байена, М. Флато, К. Фронсдаля, А. Лихнеровича и Д. Штернхаймера [34], в которой было указано, что «квантование следует понимать как деформацию структуры алгебры классических наблюдаемых», а кроме того работы М. Кон-цевича [64], Дж. Донина [43], Я. Грабовского [54], X. Омори, Й.Маеды,
Н. Миязаки и А. Йошиоки [81, 82].
Общая теория деформаций ассоциативных алгебр была развита в работах М. Герстенхабера [49]—[52]. Алгебраические аспекты теории деформаций пуассоновых структур также исследовались в работе Й. Хюбш-манна [60].
А. Лихнерович [67] ввел в расмотрение так называемые пуассоновы когомологии пуассонова многообразия и показал, что в случае симплекти-ческого многообразия они изоморфны когомологиям де Рама. Ж.-Л. Ко-шуль [66] ввел понятие гомологий пуассонова многообразия, впоследствии названных Ж.-Л. Брылинским каноническими.
В работе Х.-Д. Као и Ж. Чжоу [38] было начато изучение когомологий комплекса, получаемого деформацией комплекса де Рама пуассонова многообразия. Эти когомологии были названы ими квантовыми когомологиями де Рама пуассонова многообразия. В частности, было доказано,
можно дополнить до цепочки идеалов, называемой композиционным рядом Жордана-Гельдера [91]

А D А = І1 Э І2 э ... D In Э О,
где Іа/Іа+і — одномерная алгебра с нулевым умножением. При этом
А = Ii+d1(A)+...+4-i(A) при 2 ^k^h.
Это — частный случай общей конструкции для колец, см. [18]. Используя ряд Жордана-Гельдера, можно выбрать в алгебре А такой базис

{еа} = {е0,еа}, а = 0,1 n = dimА, а=1 п, (1.4.1)
что ео = 1 Є К, Єд, Є lä, ea la+i) называемый базисом Жордана-Гельдера. Этот базис, вообще говоря, определен неоднозначно. Разложение элемента X Є А по базису (1.4.1) будем записывать в виде X
О О
Xаеа = х° + хаЄ'а. Также обозначим X = хае*а, тогда X = х° + X. Разложение единицы алгебры А по базису (1.4.1) будем записывать 1д = 6аеа.
Компоненты структурного тензора алгебры А но отношению к базису (1.4.1) будем обозначать (7^), т.е., еаеъ = 7абес- Они удовлетворяют соотношениям 7оа = 5ьа (символ Кронекера), 7^ = 0 при а ^ с. Поскольку алгебра А коммутативна и ассоциативна, структурные константы также удовлетворяют соотношениям 7q6 = 7ja и
7аб7е/ = 7ае7б/' (1-4.2)
Кроме того, поскольку еа — еа • 1д = ea8bei) = 5Ь7^ес, имеет место соотношение
Нь = «• (1-4-3)
Напомним (см. [9]), что условия дифференцируемости функции / : U с А —> А над коммутативной ассоциативной алгеброй А (или, короче, А-гладкости), называемые условиями Шефферса, имеют вид: