Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы

• Автор: Федосеев, Денис Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 116 с. : ил.

Оглавление
1 Введение

1.1 История вопроса и классические результаты

1.2 Необходимые определения

1.3 Постановка обобщенной задачи Бертрана

1.4 Описание результатов

2 Обобщенная задача Бертрана на многообразиях вращения

без экваторов

2.1 Формулировка основных результатов

2.1.1 Решение обобщенной задачи Бертрана

2.1.2 Геометрия и классификация поверхностей Бертрана

2.2 Доказательство основных утверждений
2.2.1 Вспомогательные утверждения
2.2.2 Частный случай: конус
2.2.3 Общий случай движения в центральном поле сил
3 Обобщенная задача Бертрана на многообразиях вращения с
экваторами
3.1 Принцип Мопертюи и некоторые вспомогательные утверждения
3.1.1 Принцип Мопертюи и вполне бертрановы многообразия .
3.1.2 Некоторые свойства вполне бертрановых пар
3.2 Классификация вполне бертрановых пар
3.3 Случай цилиндра
3.4 Классификация устойчиво бертрановых пар
3.5 Обоснование диаграммы включения классов замыкающих потенциалов

4 Некоторые геометрические и аналитические свойства многообразий Бертрана с метрикой <1з11ХС11
4.1 Реализуемость многообразий Бертрана
4.1.1 Глобальная реализуемость римановых многообразий Бертрана
4.1.2 Локальная реализуемость римановых многообразий Бертрана
4.2 Явный вид метрики
5 Гамильтоновы системы
5.1 Некоторые определения
5.2 Гамильтоновы системы на многообразиях вращения
5.3 Пополненные бифуркационные диаграммы натуральных механических систем на многообразиях Бертрана
Список литературы

ГлявВ)
Введение
Обратная задача динамики в области небесной механики впервые была сформулирована французским математиком Ж. Бертраном в 1873 году. Он задался вопросом, каким должен быть закон притяжения планеты звездой, если вес траектории ее движения (при условии не слишком большой начальной скорости) — замкнутые кривые. Задача ставилась для движения в трехмерном евклидовом пространстве Е3, но, поскольку притягивающий потенциал полагался центральным, естественным образом индуцировалась на движение в плоскости. Эта задача (на самом деле, с некоторыми дополнительными техническими условиями на существование и свойства замкнутых траекторий) была успешно решена самим Ж. Бертраном в работе [1] (см. также английский перевод [2]).
В силу естественности поставленной задачи, за оригинальной работой Бертрана последовали различные попытки се обобщения. В качестве двух направлений обобщения следует выделить изменение требований на начальные условия, порождающие замкнутые траектории, на существование траекторий с определенными свойствами (иными словами, поиск потенциалов с различными свойствами, такие потенциалы в дальнейшем будут именоваться бер-трановыми потенциалами различных классов) и рассмотрение различных многообразий вращения в качестве конфигурационного многообразия задачи. Иными словами, рассмотрение иных классов потенциалов и конфигурационных многообразий задачи. Среди ученых, занимавшихся обобщением задачи Бертрана, следует выделить Г. Кёнигса, X. Либмана, Г. Дарбу, В. Перлика, М. Сантопрете и других.
Наиболее полное решение обобщенной задачи Бертрана на многообразиях

Следствие 2.2. (С°°-гладкие замыкающие центральные потенциалы на конусах) Пусть задай стандартный конус S ~ (0,+оо) х 51 с ри-маповой метрикой
ds2 — dr2 + £2r2d где £ > 0, т.с. угол при вершине конуса равен 27г£. Если £ не является рацио)іальиьім, то не существует замыкающих (соответственно локаль-по, полулокалъно, сильно или слабо замыкающих) центральных потенциалов па рассматриваемом коїіусе. Если £ рационально, то существует два и только два (с точіюстью до аддитивной и мультипликатив}юй констант) замыкающих (соответственно локалыю, полулокальио, сильно или слабо замыкающих) це}ітральпих потенциала на котусс: гравитацио}тый и ос-цилляторный потенциалы Т£(г) = (—1 )гАгг2~2/і 4- В, і = 1,2, где А > О, В — произвольные копсгпа}ітьі. Соответствующие неособые некруговые ограниченные орбиты задаются периодическими функциями г = г(ср) с минимальным полоэюительным периодом Фj = 27г/(г£). Вершина конуса {0} х S1 является притягивающим цсіітром поля для каэ/сдого поте}щиала V, Vÿ.
В мастном случае сильно замыкающих аналитических потенциалов теорема 2.1 и следствие 2.2 вытекают из усиления технической теоремы 1.2 Бертрана (см. замечание 1.4), а при дополнительном условии £ < 1 — из теоремы
1.6 Сантопрете.
Теорема 2.3. (С00—гладкая теорема для поверхностей Бертрана второго типа) Пусть дана гладкая двумерная поверхность S, дифф>ео-морфная (a,b) х S1, снабженная рилшновой метрикой (1.1.1). Пусть функция f не удовлетворяет тождеству f"f — (f)2 = — £2 ни для какого ра-циопалгтого £ > 0, и пусть функция f(r) не имеет критшческих точек 7ta (a,b). Тогда существует не более одного полулокалъно замыкающего (соответственно локально замыкающего, замыкающего, силыю или слабо замыкающего) центрального потенциала (с точностью до аддитивной и мультипликативной констант). При этом потенциал ровію одші (с точностью до аддитивной и мультипликативной ко}істант) тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие: существует гладкая функция 9 — 9{г) без 7іулей па (а, Ь), такая что в'(г) > 0 и риманова метрика в координатах