Пересечения на пространстве модулей кривых

• Автор: Шадрин, Сергей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 57 с.

Глава 1. Интегралы Ходжа

1.1. Пространство модулей кривых

1.2. Вычисление интегралов Ходжа

1.3. Размеченные деревья

1.4. Выражение через суммы по деревьям

1.5. Примеры в малых родах

Глава 2. Числа Гурвица

2.1. Основные определения

2.2. Связь с пересечениями на Л4г,„

2.3. Одно полиномиальное ветвление

Глава 3. Гипотеза Виттена

3.1. Иерархии Гельфанда-Дикого
3.2. Гипотеза Виттена
3.3. Корреляторы (тщтП[=і Тд
3.4. Обсуждение алгоритма
3.5. Вычисления в роде 3
Глава 4. Лемма Ионель
4.1. Допустимые накрытия
4.2. Кратность отображения Ляшко-Лойенги
4.3. Соотношения на интегралы Ходжа
4.4. Пересечения Мамфорда-Мориты-Миллера
Литература

Работа посвящена различным задачам геометрии пространства модулей кривых. Пространство модулей кривых интенсивно изучается в последнее время и является очень интересным объектом как в связи с различными задачами, возникающими в современной математической физике, так и само по себе, ввиду нетривиальное его геометрии.
Наиболее яркими результатами в этой области за последнее время являются, по все видимости, теорема Концевича [29], доказывающая гипотезу Виттена [42] о связи теории пересечений на пространстве модулей кривых со струнным решением иерархии Кортвега-де-Фриза (эта теорема была также доказана Окуньковым н Пандхарипанде [35] и, совсем недавно, Мирзахани [33]), и формула Экедаля-Ландо-Шапиро-Вайнштейна [9, 10] (формула ЕЬЭУ), выражающая числа Гурвица через пересечения на пространстве модулей кривых.
Вскоре после появления первого доказательства своей гипотезы, Виттен [43] придумал ее обобщение, утверждающее, что производящая функция некоторых специальных чисел пересечений иа накрытиях пространства модулей кривых удовлетворяет уравнению струны и одной из иерархий Гельфанда-Дикого. С тех пор эта гипотеза многократно уточнялась и переформулировывалась в работах Джарвиса, Кимуры, Вайнтроба и Полищука [27, 37, 36].
Параллельно шла работа над пониманием структуры тавтологического кольца пространства модулей кривых. Тавтологическое кольцо - это минимальное подкольцо в кольце когомологий, включающее в себя все “геометические” классы когомологий. Гипотетическое описание тавтологического кольца дано в работах Хайна-Лойенги [22] и Фабера [11] (см. также обзор Вакиля [41]). В частности, важным шагом к пониманию структуры тавтологического кольца оказался подсчет интегралов Ходжа, см. работы Фабера и Пандхарипанде [12, 13, 14].
Появление формулы ЕЬЭУ, с одной стороны, позволило свести некоторые задачи теории пересечений к комбинаторике чисел Гурвица, а с другой стороны - использовать накопленные знания про пересечения для получения новых формул и соотношений на числа Гурвица. Существует несколько подходов к получению обобщений

формулы ЕЬЭУ, описанных в работах Казаряна и Ландо [5], Гульдена, Джексона и Вакиля [20], и Шапиро и Вайнштейна [39].
Наши результаты касаются всех затронутых выше тем. Основным результатом является создание и развитие некоторого довольно общего подхода к вычислению различных чисел пересечений на пространстве модулей кривых. Грубо говоря, мы сводим большой класс задач теории пересечений на пространстве модулей кривых к теории пересечений на пространстве мероморфных функций. Отметим, что, в некотором смысле, большая часть вычислений на пространстве модулей кривых так или иначе связана с переходом к пространству мероморфных функций. Например, ту же идею реализует стандартный метод виртуальной локализациию (см., например, [35]). Преимущество нашего, ориентированного на более частные задачи, подхода заключается в его геометрической наглядности. Также наш подход позволяет черевычайно просто вычислять широкий класс пересечений на циклах двухточечных ветвлений, что в последнее время стало довольно актуальным, см. [15].
Основой всех наших вычислений является лемма Ионель [26], которую мы подробно разбираем в главе 4. Сама Ионель применила свою (замечательную, на наш взгляд) лемму лишь для доказательства слабой формы гипотезы Гетцлера о том, что любой моном степени д от стандартных пси- и каппа-классов на открытом пространстве модулей кривых рода д равен нулю. В некотором смысле, наш способ применения леммы Ионель к различным задачам является более простым универсальным вариантом “рациональной модели” пространства модулей кривых, см., например, [8].
Перейдем теперь к перечислению конкретных результатов, содержащихся в работе, и описанию разбиения работы на главы. Общая схема заключается в следующем. В главах 1, 2 и 3 мы формулируем наши результаты и доказываем те из них, которые не требуют серьезной технической работы, основанной на лемме Ионель. В главе 4, мы приводим лемму Ионель и многократным ее применением доказываем все остальные результаты работы.
В главе 1 мы исследуем интегралы Ходжа. В частности, мы приводим биномиальное выражение для интегралов Ходжа по пространству модулей кривых через интегралы Ходжа по циклам двухточечных ветвлений (теорема 1). Далее, на интегралы по циклам двухточечных ветвлений мы приводим уравнение типа “ый-апб-щш” (теорема 2). Это уравнение позволяет свести любой рассматриваемый интеграл к некоторым простейшим, значения которых мы тоже вычисляем (теорема 3). Далее, в случае когда мы рассматриваем интегралы с участием старшего класса Ходжа, удается получить формулу для интегралов через сумму по графам (теорема 4), имеющую нетривиальные комбинаторные следствия (следствия

4.3.2. Доказательство теоремы 1.
Доказательство. Зафиксируем д и а,... ,ап. Обозначим через Уд пространство
Напомним, что V' - это подпространство в Mg,n+i+ь состоящее из кривых (С,х 1,... ,xn+i+i), таких, что формальная сумма
(178) —(N 4- i)xi + aiX2 + • • • + anxn+i + хп+2 + • • ■ + Жп-и+i
является главным дивизором.
Рассмотрим отображения 7г^г: V9 —> A4gt„+j+i-i, забывающие отмеченные ТОЧКИ Xn+j+2~i, ■ ■ ■-I Xn+j+i. Заметим, ЧТО 5Г),г,»ГУЦ]
Напомним, что мы хотим получить выражение для интеграла ^ ф9~г~2, = +1 ф19~г+п~2г. Мы сделаем это за д шагов.
Рассмотрим проекцию а: Л491П+2 —> Мд,п+, забывающую последнюю отмеченную точку. Мы имеем:
где £) - это класс дивизора, чья общая точка представима двухкомпонентной кривой, такой, что одна компонента имеет род ноль и содержит только Х и хп+2, а другая компонента имеет род д и содержит все остальные точки.
Так как сг*Л,- = А„ мы имеем:
Применяя то же рассуждение к правой части формулы 182, мы получаем:
(177)
*кда], %i(V-0 = тTj+i»i(V’+1), И тг-дл{у§) = Мд,п+1.
(179) a*(ipi)39~l+n~2 = ф19^+п-2 - ff*(i/.i)3»-t+n-3 • D,
(180)
Заметим, что
(181) a(D П пд,д-г (V9)) = (F/"1).
Соответственно,
(183)