Многообразия оскулирующих и их секущие

• Автор: Иншаков, Андрей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с.

Содержание

1 Подготовительные определения и результаты

1.1 Секущие

1.2 Оскулирование и касание для семейств проективных подпространств

1.2.1 Определения

1.2.2 Простейшие свойства касающихся семейств

1.3 Оскулирующие конуса

1.3.1 Определение

1.3.2 Основные свойства

1.3.3 Соотношение объектов ТхХ, ОхХ, Т'хХ, Тх X

1.3.4 Оскулирующие конуса и семейства подпространств

1.3.5 Оценки ДЛЯ А'
1.4 Многообразия оскулирующих к кривым
1.4.1 Семейства конусного типа
1.5 Многообразия с малой размерностью ТкХ
1.5.1 Многообразия конусного типа
1.5.2 Основное утверждение
1.6 Многообразия Веронезе
1.6.1 Определение и интерпретация
1.6.2 Комбинаторика многообразий Веронезе
1.6.3 Расширенная функциональная проблема Варинга........для....общих форм
2 Поверхности с дефектными многообразиями оскулирующих
2.1 Примеры
2.2 Основное свойство поверхностей с дефектным многообразием ТкХ,
О < /с <
2.2.1 Комбинации чисел сНтТАД сНт2А, <МтТ2А, сИтзА'" для
поверхности X С Рдт
2.2.2 Вспомогательные леммы
2.2.3 Ограничения на дефекты
2.2.4 Аналог леммы Террачини для касательного пространства
к многообразию секущих многообразия оскулирующих . .
2.2.5 Основное свойство
2.2.6 Доказательство теоремы 2.2.
3 Классификация поверхностей А, для которых 5н{ТкX) > 0 для
к = 1 или 2 и некоторого натурального Н
3.1 Основные теоремы

3.1.1 Решение расширенной проблемы Варинга для общих форм
от трёх переменных и к = 1 или
3.2 Доказательство теорем 3.1.1, 3.1.2, деление на случаи
3.2.1 Семейство кривых .С/ДА")
3.2.2 Семейства подпространств /;
3.3 Случай И. — 1, сИтСДЛ") =
3.3.1 Вспомогательные утверждения
3.3.2 тт{4 — 4, • • • > 4+1 — 4} < 1
3.3.3 тш{4 - 4, • • • , 4 ~ 4-1} = 2 и 4+1 -4 =
3.3.4 тт{<1 — 4, ■ • • >4 — 4-1} > 3 и 4+1 — 4 >
3.4 Случай /г = 1 и сНтСДА") =
3.4.1 Двумерные системы кривых на поверхностях
3.4.2 Вспомогательные утверждения про отображения
3.4.3 Разбор случая сИтб^Т^А) -= к-+^к+?
3.4.4 Лемма о трисекущих
3.4.5 Разбор случая к = 2 и сНт5(Т2А") =
3.5 к >
3.6 Случай /г > 1, сПтС/ДА") =
3.7 Случай /г > 1 и сПт С/ДА") — к +

Введение
Пусть Y — (проективное) гладкое неприводимое многообразие размерности п в комплексном проективном пространстве Pw размерности N. Предположим также, что многообразие X невырождено, то есть X не лежит ни в какой гиперплоскости. При ЛГ > 2п + 1 мы можем изоморфно спроектировать многообразие X в проективное пространство P2n+1 размерности 2п + 1. Возникает вопрос: можно ли изоморфно спроектировать многообразие X в проективное пространство размерности меньшей, чем 2п + 1? Попробуем ответить на этот вопрос. Заметим, что для того, чтобы проектирование многообразия X было изоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы образ многообразия X был неособ. Особые точки при проектировании возникают тогда и только тогда, когда центр проектирования либо пересекается с секущей многообразия X (это приводит к появлению двойной точки), либо пересекается с касательной к многообразию X (это приводит к вырождению дифференциала отображения проектирования). Поэтому для того, чтобы проектирование многообразия X было изоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы центр проектирования не имел пересечений с многообразием S(X) секущих многообразия X (формально
х, у), где через (U) обозначена линейная оболочка множества U). Следовательно, размерность центра проектирования не может превышать числа codim.S'(Y) — 1, где codim5(Y) — это коразмерность многообразия 5(X) в проективном пространстве ¥N. Поскольку при проектировании из в Рм размерность центра равна N — М — 1, многообразие X с Ря может быть изоморфно спроектировано в проективное пространство Рм размерности М тогда и только тогда, когда N — М — 1 < codimS'(Y) — 1 или М > dimS'(Y).
Простой подсчёт размерностей показывает, что размерность многообразия S(Y) не превосходит числа 2n + 1. При этом если многообразие X С Р — “общего положения” и число N достаточно велико, то dim S(X) — 2п+1- Следовательно, многообразия “общего положения” могут быть изоморфно спроектированы только в p2n+1. Поэтому интерес представляют многообразия, которые могут быть изоморфно спроектированы в Рм для М < N и М < 2п + 1, то есть многообразия X, для которых dimS'(Y) < М, в частности, dimS’(Y) < Лг и dimS(Y) < 2п + 1. Многообразия, для которых выполняются неравенства dimS'(Y) < N и dim5'(Y’) < 2n + 1, называются 1-дефектными.
Обобщение понятий многообразия секущих и 1-дефектности предложили классики алгебраической геометрии Ф. Палатини [17] и [18] и А. Террачини [23]. Обобщение происходит следующим образом: многообразие S(X) по определению является замыканием многообразия, заметаемого секущими многообразия Y^ (прямыми, пересекающими многообразие X как минимум в двух точках). Возьмём теперь вместо секущей-прямой проективное подпространство размерности h, пересекающее многообразие Y как минимум в h + 1-ой различной точке. Таким образом,
Sh(X) = {J {x0,...,xh).
xo,-,Xh€X, dim(iov,Xh)=h

m+a+k+1— dim TkX < {dimTkX-a-k-2){h+l) + h + a + k + l-dimTkX = (dimTfcA" — a — к — l)h — 1 < dh{TkY) - 2 и по пункту 5 теоремы 2.1.1 имеем: dh{TkX) > dh{TkY) — dimM — 1 = (dimT*X — a — к — l)h — (m + a + к + 1 — dimTfcX) — 1 = (dimTkX - а - к - 1)(Л + 1) - m - 1 и 5ь(ТкХ) > 0.
Если X имеет заполняющий конусный тип (m,a,k,h), то по лемме 1.5.2 имеем: N > dimSh(TkX), m + а ■ (h + 1) = dimSft(TfcA) — (к + 2)(h + 1) и тгм(ТкХ) = Та+кС. Из первых двух условий сразу же получаем недостающее IV > dim Sh(TkX) — m + (а + к + 2)(h + I)■
Оставшиеся два пункта являются прямыми следствиями пунктов 5, 2 и 4 предложения 2.1.1. □
2.2 Основное свойство поверхностей с дефектным многообразием ТкХ, 0<к<
2.2.1 Комбинации чисел dimTX, din^X, dimT2X, dim^X для поверхности X С РЛ .
Сначала заметим, что 2 = dimX < dim ТА" < dimiX + dim А' = 4. Если dim ТА = 2 = dimi X, то А' — это плоскость (N — 2), и dimr X = dimTrA' = 2 для любого г > 1.
Если dim ТА” = 3 = dim! А + 1 (что возможно только если N > 3), то по теореме 1.5.5 либо X — это (невырожденная) поверхность в Р3, либо А имеет сильный конусный тип (0 — а, а, 1), то есть А — конус СоперС с вершиной в точке р над некоторой кривой С или ТК — поверхность, заметаемая касательными к некоторой кривой К. В первом случае dimr X = dimT(A = 3 при г > 2, I > 1. Во втором и третьем случаях положим N > 4; по теореме 1.5.5 имеем: dimr X — min{N, dimi A + г — 1} = min{lV, r + 1}, dim TTX = min{N, r 4- 2} при r > 1, то есть dim2 X = min{A, 3} = 3, dimT2A" = dim3 X = min{7V, 4} = 4.
Пусть теперь dimTA" = 4. В этом случае по предложению 1.3.7 выполнено 4 = dim ТА < din^A” < С|+2 — 1 = 5. Если dim2A = 4, то 4 = dim-iA" < dimT2A < dim2A^ + dimA^ = 6. Если dimT2Ar = 4, то по теореме 1.5.5 имеем: N — 4, Т2X = Р4, dim3 X = 4. Если dimT2Ar = 5 = dim2 X + 1 (что возможно только при N > 5), то по теореме 1.5.5 либо Т2Х — Р5 (N = 5) и тогда dim3 А = dimT2A = 5, либо N > 6 и А имеет сильный конусный тип (1 — а, а, 2). В последнем случае dim3 А = min{lV, dim2 А + 3 — 2} = min{JV, 5} = 5. Если же dimT2A = 6 (N > 6), то по предложению 1.3.7 так как 2 = dim2 А — dimi X < г+1 = 3, то С = dimT2A < dim3 А < dim2 A+(dim2 A—dimi А) = 4+(4—2) = 6. Откуда dim3 X = 6.
В случае dim ТА = 4, dim2 X = 5, имеем: 5 < dim Т2Х < dim2 X+dim X — 7. Если dimT2A = 5, то по теореме 1.5.5 имеем: N = 5, Т2Х = Р5, dim3A' = 5. Если dim Т2X = 6 = dim2 X +1 ( что возможно только при N > 6), то по теореме
1.5.5 либо Т2А = Рб (N = 6) и тогда dim3A = dimT2A = 6, либо N > 7 и А имеет сильный конусный тип (2 — а, а, 2). В последнем случае dim3A = min{A,dim2 Х + 3 — 2} = min{Ar, 6} = 6. Если же dimТ2А = 7 (тогда IV > 7), то по предложению 1.3.7 выполнено 7 = dimT2A' < dim3 X < С|+3 — 1 = 9. Откуда dim3 А может быть равно 7, 8 (при N > 8), 9 (при N > 9).