Теория нерв-комплексов и её приложения

• Автор: Айзенберг, Антон Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 135 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Обзор основных понятий и конструкций

1.1 Симплициальные комплексы и гиперграфы

1.2 Выпуклые многогранники

1.3 Частично упорядоченные множества

1.4 Момент-угол пространства и многообразия

1.5 Полиэдральные степени

1.6 Кольца Степли-Райснера

1.7 Категории диаграмм и пространства с действием топологической группы

2 Нерв-комплексы выпуклых многогранников

2.1 Нерв-комплекс выпуклого многогранника
2.2 Общее определение нерв-комплекса
2.3 Перечисляющие многочлены
3 Момент-угол пространства выпуклых многогранников
3.1 Гомотопический тип момент-угол пространства
3.2 Мультипликативность конструкции
3.3 Биградунрованные числа Бетти
4 Глубина колец Стенли-Райснера
4.1 Постановка задачи
4.2 Необходимые результаты коммутативной алгебры
4.3 Связь топологии линков и полных подкомплексов
4.4 Горенштейновы* комплексы

4.5 Случай сферических нерв-комплексов
5 Число Бухштабера
5.1 Постановка задачи. Свободно действующие подгруппы тора
5.2 Обобщенные хроматические инварианты
5.3 Случай маломерных комплексов
5.4 Вещественное и комплексное числа Бухштабера различны
5.5 Аддитивные свойства
А Операции на симплициальных комплексах
Литература

Введение
Актуальность темы
В настоящее время в комбинаторике и выпуклой геометрии стали находить применение методы коммутативной алгебры, алгебраической геометрии и топологии. Актуальным разделом алгебраической геометрии стала торическая геометрия, изучающая свойства торических многообразий. Каждому выпуклому многограннику вЕ"с рациональными координатами вершин можно сопоставить алгебраическое многообразие с действием алгебраического тора (С*)”, являющееся эквивариантной компактификацией тора (С*)” относительно его действия на себе левыми сдвигами. С одной стороны, эта конструкция дает обширный класс примеров алгебраических многообразий, свойства которых можно эффективно описывать в терминах комбинаторных данных. С другой стороны, конструкция торического многообразия позволяет доказывать сильные результаты о комбинаторике многогранников при помощи методов алгебраической геометрии. Одним из таких результатов является р-теорема, дающая полную характеризацию /-векторов простых многогранников [22, 62[.
М. Дэвис и Т. Янупжиевич в работе [32] ввели понятие квазиторического многообразия, являющееся топологическим аналогом торического многообразия. На квазиторическом многообразии М2п определено действие компактного тора Тп, локально изоморфное стандартному действию Тп на С”, а пространством орбит этого действия является простой многогранник Рп. Квази-торические многообразия представляют обширный класс примеров топологических пространств с богатой геометрией и топологией, причем их свойства можно описывать в комбинаторных терминах. В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов и Н. Рэй [12, 29] показали, что в размерностях, больших двух, каждый класс

1.5 Полиэдральные степени
Каждому симплициальному комплексу К и паре топологических пространств У С X можно сопоставить новое топологическое пространство 2к(Х,У).
В литературе молено встретить различные названия этого пространства: К-степень, обобщенный момент-угол комплекс, полиэдральная степень и различные обозначения.
Определение 1.5.1. Пусть (X, У) — топологическая пара, У С. X, а К — симплициалъпый комплекс на множестве [т]. Для каждого симплекса I € К определим подмножество (X, У)1 = 2 х х ... х 2т С Хт, где Z,' = X, если г € I, и У г = У, если г 0 I. Тогда полиэдральной степенью пары (X, У) называется пространство
2к{х,у) = и(х,у/схт.

Частными, но наиболее важными для торической топологии примерами полиэдральных степеней являются момент-угол комплексы.
Определение 1.5.2. Момент-угол комплексом симплициальиого комплекса К называется пространство 2к (Б2, б11). Вещественным момент-угол комплексом симплициальиого комплекса К называется пространство 2ц{Б1,50).
ПРИМЕР 1.5.3. Пусть симплициальный комплекс К — граница треугольника дА2. Тогда Дэд2(1}2,51) = {Б2хБ2х31)и(Б2хБ1хБ2)и{31хБ2хБ2) = д(Б2 х Б2 х Б2) = 55. Аналогично, 2дА2(Б1,80) = д{Б1 х Б1 х Б1) = 52.
Диск Б2 можно рассматривать как единичный диск в С. Каноническое действие окружности Т1 = Д Е С | |£| = 1} на С сохраняет единичный диск. Таким образом, на топологической паре (Б2, 51) естественным образом определено действие окружности. Это действие индуцирует покоординатное действие тора Тш на полидиске (Б2)ш. Нетрудно видеть, что пространство 2К(Б2,31) С (В2)т инвариантно относительно этого покоординатного действия. Таким образом определено действие ш тора Тт на пространстве 2К{Б2,51).