Топологические свойства комплексных проективных алгебраических многообразий

• Автор: Нецветаев, Никита Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 76 c. : ил

Список обозначений

§ I. Предварительные сведения

§ 2. Главные результаты работы

Глава I. ЗАДАНИЕ ПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ УРАВНЕНИЯМИ

§ I. Регулярное задание алгебраических многообразий

§ 2. Диффеоморфность различных алгебраических

многообразий

§ 3. Одна теорема теории пересечений

§ 4. Ограничения на степени уравнений

Глава 2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ В СВЯЗНУЮ СУММУ

§ 5. Лефшецевы пары и подмногообразия

§ 6. Разложение в гладкую и кусочно-линейную
СЕЯЗНУЮ сумму
§ 7. Применения к проективным многообразиям
§ 8. Многообразия малых размерностей
Глава 3. ДЕТЕРЖШАНТАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 9. Простейшие сведения
§ 10. Гомологические группы детерминанталей
. § II. Разложение детерминанталей в связную сушу
Глава 4. 1-НЕПОЛНЫЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 12. Общие формулы
§ 13. Многообразия малых размерностей
§ 14. Примеры 1-неполных пересечений
§ 15. Случай размерности
ЛИТЕРАТУРА
Работы автора по теме диссертации

Список обозначений В приведенном ниже списке отсутствуют общепринятые обозначения, такие как Z), С , &ег3 гт згкл Н±зл;г, ц&и т.п.,
а также обозначения с 3 )Ыг^ для характеристических
классов.
- t-Toe число Бетти, а - замыкание;
СР1^- N-мерное проективное пространство над <С ; с%- порядок, степень;
- граница;
д,л- наименьшее число образующих ;
Ниг- Ш-мерный гомоморфизм Гуревича;
in - образующая группы Н^СР = 7L ;
I> J - определяющий идеал и пучок идеалов (алгебраического множества);
t - наименьшее число образующих (конечной абелевой группы);
Nm- (ко)нормальное расслоение;
сигнатура;
Sice, - -мерный остов;
"Р - род Тодда, касательное расслоение;
Tors - подгруппа кручений;
I - группа глобальных сечений;
>tZN - старшая компонента (когомологического класса), лежащая в HZN= 7L ;
^ - эйлерова характеристика;
j) - трансверсальное пересечение;
Ф - связная сумма.
Мы используем гомологии и когомологии только с целыми коэффициентами.
- 4 -
Более 100 лет топология и алгебраическая геометрия развиваются в тесном контакте. В результате их взаимодействия появились, например, теоремы Лефшеца и их обобщения в алгебраической геометрии, основные когомологические операции в топологии, значительная часть теории характеристических классов и К-теории, теорема Римана-Роха-Хирцебруха и ее обобщения.
Главной специфической областью взаимодействия топологии и алгебраической геометрии является топология комплексных алгебраических многообразий. Она состоит из общей теории, включающей в себя теорию Ходжа, теоремы лефшецева типа и т.п., и структурной теории, охватывающей специальные классы комплексных алгебраических многообразий.
Наиболее полно изучены неособые гиперповерхности комплексных проективных пространств и регулярные полные пересечения.
По возможности столь же полное топологическое исследование более широких классов комплексных проективных многообразий - актуальная и остро стоящая проблема.
Цель настоящей работы - топологическое исследование комплексных проективных алгебраических многообразий, следующих по сложности задания за регулярными полными пересечениями. В ней получен ряд новых результатов о топологии трех классов таких многообразий: сечений односвязных проективных многообразий гиперповерхностями и полными регулярными пересечениями; детерми-нантальных многообразий; 1-неполных пересечений. Кроме того, указано необходимое и достаточное условие, позволяющее распознавать детерминантальные подмногообразия коразмерности 2 в СР** и СР5" , когда они заданы тремя уравнениями, и найдено новое уо-ловие, позволяющее распознать регулярное полное пересечение, ко-

ЗАМЕЧАНИЕ. Особенно нас интересует тот случай, когда У=(ПР? Тогда ві^сіїкуХ^сіІь * и с(У) =с(€Ры)=(/1+Я)^ где (її -степени гиперповерхностей 51> с(, = с^Х и к Иг€РЫ - класс гиперплоского сечения. Через 6^ в этом случае мы будем обозначать ^ -тую элементарную симметрическую функцию чисел сСіз,.,^ <1ц-ъ+4 не классов 5Ь'0^и+1?как выше)* Формула (13 ) теперь принимает вид:
/(X) = 1(1 і (<і+б'и.уіЧі)(і-(біУ^бп}і)+
(із')
+ (б,1ъ+.1,+ 1г /2,])+...+(-Є11ь) ) х
* (1+(ы+м+4м 4^ кч „+ с;, Щ
Для вычисления рС(Х) выражение в квадратных скобках нужно рассмотреть как многочлен от К и взять коэффициент при
Доказательство теоремы 12.I.А. Воспользуемся точной последовательностью
А1-ч+(
0-*Тх — Ту-* Ф (^г)—ЯГ—О, (и)
полученной склеиванием точных последовательностей
■О-*Тх<^Тг-~Ы„г-»0 и
Из мультипликативности полного класса Чженя в применении к (14 ) следует, что
с(Х) = с(Х) V и* -^—т
Пользуясь формулой проекции, получаем окончательно
(15 )
ш,с(Х)=Ы.,с(Х)у—^р—. (16)
с(ф &Ш)
і=н