Объемы и изометрии трехмерных гиперболических многообразий и орбифолдов

• Автор: Веснин, Андрей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 259 с. : ил.

1 Объемы гиперболических многообразий

1.1 Многообразия Лёбелля

1.2 Компактные и некомпактные многообразия равного объема

1.3 Конические многообразия Уайтхеда

1.4 Выпуклые оболочки квазифуксовых групп

2 Многообразия и орбифолды малого объема

2.1 Многообразия малого объема как двулистные накрытия

2.2 Многообразие Викса — Матвеева — Фоменко

2.3 Многообразия Фибоначчи как 2-листные накрытия и гипотезы Мейерхгофа — Ноймана

2.4 Хирургии на орбифолдах Адамса

3 Гиперэллиптические многообразия

3.1 Многообразия с тремя гиперэллиптическими инволюциями
3.2 Трехмерный аналог теоремы Акколы
3.3 Гамильтоновы циклы и гиперэллиптичность
3.4 Группы Коксетера и гиперэллиптические многообразия
3.5 Группы Коксетера и линзово-гиперэллиптические многообразия
4 Многообразия с циклической симметрией
4.1 Обобщенные многообразия Такахаши
4.2 Изометрии циклических разветвленных накрытий двухмостовых узлов
4.3 Медианные зацепления и многообразия с богатыми группами симметрий230
4.4 Группы с циклическим представлением
Литература
Объектом исследования в данной работе являются объемы и изометрии трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов и конических многообразий. Первый пример некомпактного неориентируемого трехмерного гиперболического многообразия был построен в 1912 г. Гисекингом. Первые примеры замкнутых ориентируемых трехмерных гиперболических многообразий были построены Ф. Лёбеллем в 1931 г. и К. Вебером и X. Зейфертом в 1933 г. Бурное развитие теории трехмерных гиперболических многообразий началось в последние 25 лет и связано прежде всего с работами У. Терстона, его учеников и последователей. В настоящее время теория трехмерных гиперболических многообразий является активно развивающейся областью геометрии и топологии, элегантно сочетающей в себе идеи и методы гиперболической геометрии, теории трехмерных многообразий, теории узлов, геометрической теории групп, теории клейновых групп и многих других разделов современной математики.
Под трехмерным гиперболическим коническим многообразием принято понимать трехмерное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны с сингулярностями конического типа вдоль замкнутых геодезических [96]. При этом, каждой компоненте сингулярного множества сопоставлен конический угол, являющийся неотрицательным вещественным числом, не превосходящим 2я. Гиперболические конические многообразия возникают как естественное обобщение гиперболических 3-многообразий (которые соответствуют случаю, когда все конические углы равны 27г) и гиперболических 3-орбифолдов (которые соответствуют случаю, когда конические углы имеют вид 2я/п для некоторых целых п > 1). Таким образом, каждое коническое многообразие С может быть охарактеризовано как тройка С = (М., Е, а), где многообразие М является его носителем, Е = и*=1Е.,- является его сингулярным множеством, причем каждая компонента Е^- гомеоморфна окружности, и множеством конических углов а — (ац а*,), где аэ = 1 к, соответствует компоненте При этом, равенство конического угла нулю означает удаление соответствующей компоненты.
Точное вычисление объемов трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов и конических многообразий является актуальной задачей, поскольку в силу теоремы жесткости Мостова объем трехмерного гиперболического многообразия является его топологическим инвариантом. Однако эта задача является достаточно трудной и связана, в частности, с проблемой вычисления объема многогранника в пространстве Лобачевского Ы3. Первые результаты в этом направлении были получены Н.И. Лобачевским в 1832 г. Для некоторых классов многогранников формулы объемов были найдены Э.Б. Винбергом [1], Р. Келлерхалс [89], Дж. Милнором [116] и выражаются через функцию Лобачевского
Так, тетраэдр Г вН3 с четырьмя идеальными вершинами описывается (с точностью до изометрии) единственным комплексным параметром z, Imz > 0 (двугранные углы тетраэдра Т — Tz равны arg z, arg arg ^ и каждый из них встречается дважды — при паре противолежащих ребер). Его объем выражается формулой [1, 116]
В некоторых случаях для вычисления объемов многогранников, многообразий, орбифолдов и конических многообразий удобно использовать вариационную формулу Шлефли, принимающую в трехмерном гиперболическом случае следующий вид. Пусть Сг ~ гладкое однопараметрическое семейство конических многообразий с носителем и сингулярным множеством Е = и$=1Е3- фиксированных топологических типов. Тогда
где lj - длина компоненты Еj, а си; - конический угол вокруг нее.
Свойства объемов трехмерных гиперболических многообразий кардинально отличаются от свойств объемов гиперболических многообразий других размерностей. Под п-мерным гиперболическим многообразием будем понимать фактор-пространство Мп = ИР/Г, где Г — дискретная группа изометрий пространства Лобачевского И71, действующая без неподвижных точек. Далее мы будем рассматривать ориентируемые гиперболические многообразий конечного объема.
Двумерный случай полностью описывается теоремой Гаусса - Бонне. Если М2 — гиперболическая поверхность рода дек выколотыми точками, то агеаМ2 = 27г(2д — 2 + к). В частности, множество площадей гиперболических поверхностей является дискретным, существуют компактные и некомпактные поверхности равной площади и, с точностью до гомеоморфизма, существует лишь конечное число поверхностей равной площади.
В трехмерном случае имеет место теорема Терстона — Ергенсена: множество объемов трехмерных гиперболических многообразий образует на числовой прямой вполне упорядоченное подмножество типа и)ш и, с точностью до гомеоморфизма, cyuificmeyem лишь конечное число многообразий равного объема.
( z
vol Tz = A(arg z) + Л ( arg

Глава 1. Объемы гиперболических многообразий

Рис. 1.11: Узел восьмерка и зацепление
орбифолд б|(2, п), носителем которого является S3, а сингулярным множеством — двухкомпонентное зацепление 6| (в обозначениях [140]), компоненты которого имеют индексы сингулярности 2 ЯП.
Таким образом, для многообразий Фибоначчи Мп и орбифолдов Т^ж/п), 62(2,77) имеет место следующая цепочка накрытий:
Мп А Р{2ж/п) Л б|(2,тг),
и, следовательно, гиперболические объемы связаны соотношением
vol Mn = nvoHF(2iT/n) = 2nvol6l{2,n). (1-46)
Следствие 1.2.7 [6*] При п > 4 орбифолд 61(2,«) является гиперболическим, причем
vol6l(2,n) = A(/3 + 5) + A(/3-ô), где 5 = я/п и /3 = arccos(cos(2tf) - 1/2).
Обозначим через 6|(m, п), т, п G N U {оо}, орбифолд с носителем S3 и сингулярным множеством зацепление б|, компоненты которого имеют индексы т и п соответственно. Для целых тип орбифолд 6{т,п) можно получить как результат обобщенной хирургии Дэна с параметрами (ш, 0) и (п, 0) на двух компонентах зацепления 6. Индекс оо означает удаление соответствующей компоненты зацепления 6|, что приводит к некомпактному орбифолду.
Рассмотрим связанные с зацеплением 62 некомпактные многообразия. Обозначим через Thn, п> 2, замыкание 3-нитиевой косы (niщ/1)", где и о2 - стандартные порождающие группы кос на трех нитях. Представители семейства Т1гп хорошо известны. В частности, Th2 — это узел восьмерка, Т/13 — зацепление борромеевы кольца, Т/7,4 — узел турецкая чалма 8iS, a Th5 — узел IO123 в обозначениях [140]. Как показал У. Терстон [157], многообразия S3 Thn при п > 2 являются гиперболическими и могут быть представлены как n-листные циклические накрытия над орбифолдом 62(71,00). В частности, для гиперболических объемов имеем равенство
vol (5'3ТЛ,П) = nvol6l(n,oo). (1-47)