Линейные связности на оснащенной гиперповерхности конформного пространства

• Автор: Андреева, Татьяна Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Чебоксары
• Количество страниц: 114 с. : ил.

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

1. Постановка вопроса и актуальность темы

2. Цель работы

3. Методы исследования

4. Научная новизна

5. Теоретическая и практическая значимость

6. Апробация

7. Публикации

8. Вклад автора в разработку избранных проблем

9. Структура и объем работы

10. Некоторые замечания
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Г Л А В А 1. АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ КОНФОРМНОГО ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Конформное пространство Сп и его уравнения структуры
§ 2. Гиперповерхность уп- в конформном пространстве С„, её полное и
частичные оснащения
1. Гиперповерхность Уп- в конформном пространстве Сп
2. Полное и частичные оснащения гиперповерхности Vп~ конформного пространства Сп
3. Квадратичная гиперполоса Яи-ісри+1, ассоциированная с гиперповерхностью V п-1 с Сп
§ 3. Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности у„- конформного пространства Сп
1. Теорема Картана-Лаптева
2. Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности Кл-1 конформного пространства С„
§ 4. Внутренняя геометрия сетей на гиперповерхности уп_, конформного пространства С„

1. Дифференциальные уравнения сети £и-1 с уп-с С„ и инвариантные геометрические образы, порождаемые ею
2. Ортогональная сеть £„-1 на гиперповерхности Vп- с: Сп
3. Гиперсопряженная система конформного пространства С„
4. Сеть линий кривизны на гиперповерхности конформного пространства
5. Чебышевские и геодезические сети на гиперповерхности Уп- конформного пространства Сп
6. Чебышевская сеть линий кривизны на гиперповерхности у„-с С„
(п> 3)
7. Чебышевская сеть линий кривизны на поверхности у2 конформного пространства Сз
Г Л А В А 2. КОНФОРМНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ, ИНДУЦИРУЕМЫЕ ПОЛНЫМ ОСНАЩЕНИЕМ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ КОНФОРМНОГО ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Конформные связности, индуцируемые полным оснащением гиперповерхности уп- конформного пространства С„
1. Пространство конформной связности С„-,п- > индуцируемое касательным оснащением гиперповерхности Vп- сСл
2. Условие вырождения гиперповерхности Vп- с С„ в гиперсферу
3. Нормализованное пространство конформной связности Сп-,п-
4. Пространство конформной связности ■> индуцируемое невырожденным полным оснащением гиперповерхности конформного пространства Сп
§ 2. Внутренняя геометрия аффинных связностей, индуцируемых полным оснащением гиперповерхности конформного пространства
§ 3. Поле циклид Дарбу, индуцируемое полным оснащением гиперповерхности конформного пространства

Г Л А В А 3. НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ КОНФОРМНОГО ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Нормальные связности на нормально оснащенной гиперповерхности
У„-1 конформного пространства Сп

1. Нормальная связность V , индуцируемая нормальным оснащением гиперповерхности Vп- с С„
2. Нормальная связность Vі, индуцируемая нормальным оснащением гиперповерхности Уп- конформного пространства С„
3. Нормальная связность Vі на нормально оснащенной гиперповерхности Г„-, с: Сп
§ 2. Нормальные связности, индуцируемые полным оснащением гиперповерхности конформного пространства
1. Нормальная связность Vх, индуцируемая полным оснащением гиперповерхности Уп-1 конформного пространства Сп

2. Нормальные связности V , V на оснащенной гиперповерхности конформного пространства

3. Нормальная связность V на поверхности у2 конформного пространства Сз > отнесенной к сети линий кривизны
§ 3. Нормальные связности на рехулярной квадратичной гиперполосе Нп- проективного пространства ри+1, ассоциированной с гиперповерхностью Гя-1 конформного пространства Сп
1. Инвариантные прямые на регулярной гиперполосе н„- проективного пространства р„+1
2. Поля одномерных направлений на регулярной квадратичной гиперполосе Яи-і^Рл+і! параллельно переносимые в нормальных связностях
ЛИТЕРАТУРА

ортогональном конформном репере Я = {Ао>А1,Л„,Лп+1} каждая гиперсфера А/ принадлежит пучку касающихся между собой в его центре Ао <= V„~ гиперсфер, определяемому ТОЧКОЙ Ао и гиперсферой с1Ао (тос!й)<; = 0,у =£/); следовательно, в выбранном репере Я роль «касательной» к / - ой линии сети с Vп-1 в ее точке Ао играет пучок гиперсфер Х/ = А1- + Л1А0Замыкая уравнения (1.96), с использованием (1.21) - (1.25), находим:
(с!а{к + а{ксэо ~ аЬсэ- 5{ он - а{к а 1 + а{к со) + X ак б){ +
+ А"к со]п ~ gik 0^+0 а соо = 0, (1.97)

Аа{к а 0о “ 0. (1.98)
Разрешая квадратичные уравнения (1.98) по лемме Картана, имеем:
Аа.к Ац^соо) б.
Таким образом, число N произвольных параметров - функций А/&, определяющих наиболее общий интегральный элемент [64]
системы (1.96), равен
лг - (—')(" - т." - 1) + 'У ~-}1 - 2>.
Очевидно, что характеры [64] системы (1.96) есть
51 = 52 = ••• = 5„-1 = (п - 1)(п - 2), в силу чего число Картана [64]
п 1^1 I Ггг л (п-1)2 п(п - 2)
(7 - 51 + 2^2 +... + (и - 1)5я_,
Так как = то система дифференциальных уравнений (1.96) - в инволюции [64], широта ее решения определяется (п - 1)(и - 2) функциями н — 1 аргумента. Следовательно, справедлива
Теорема 1.8. На заданной гиперповерхности Vп-с С„ сеть с Vп_ существует с произволом (п - )(п — 2) функций п -1 аргумента. Разрешая уравнения (1.97) по лемме Картана, в силу (1.23), (1.24), (1.96) имеем:
Аак + а{к((0о - т + со) - т) -8{ан~ Я1ксо{+1 = а'^соод * У- (1-99)