Нормальные поверхности в трехмерных многообразиях

• Автор: Фоминых, Евгений Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 66 с.

Оглавление
Введение
1 Полное описание нормальных поверхностей
1.1 Чистые поверхности
1.2 Уравновешенные поверхности
1.2.1 Связные нормальные поверхности
1.2.2 Фундаментальные поверхности
1.3 Кодирование нормальных поверхностей линейными комбинациями простых полиэдров
1.3.1 Частичный моноид допустимых комбинаций
1.3.2 Каноническое разложение нормальной поверхности
в сумму фундаментальных поверхностей
1.4 Нормальные поверхности в многообразиях с симметричными цепными спайнами
1.4.1 Уравновешенность поверхностей
1.4.2 Элементарное преобразование допустимых комбинаций
1.4.3 Частичный моноид комбинаций сложности
2 Почти нормальные поверхности в многообразиях с симметричными цепными спайнами
2.1 2-нормальные и почти нормальные поверхности
2.2 Классификация почти нормальных поверхностей с октагоном
2.3 Классификация почти нормальных поверхностей с трубкой
3 Многообразия с симметричными цепными спайнами
3.1 Какие многообразия имеют симметричные цепные спайны?
3.2 Какие линзовые пространства содержат бутылку Клейна? .
Библиография

Введение
Теория нормальных поверхностей Хакена играют важную роль в топологии трехмерных многообразий. С одной стороны, она лежит в основе таких знаменитых алгоритмов, как алгоритмы распознавания тривиального узла [12], расщепляемости зацепления в трехмерной сфере [8], распознавания многообразия Хакена [10]. С другой стороны, нормальные поверхности допускают удобное числовое описание, что выделяет их среди множества всех поверхностей в многообразиях.
Вначале мы дадим основное определение 2-нормальной поверхности, впервые сформулированное в [6]. Напомним, что двумерный полиэдр Р называется простым, если линк каждой его точки гомеоморфен окружности, окружности с диаметром или окружности с тремя радиусами, (см. рис. 1). Объединение точек первого типа состоит из нескольких связных двумерных многообразий, которые называются 2-компонентами полиэдра Р. Оставшиеся точки образуют особый граф полиэдра Р, причем точки третьего типа называются его вершинами. Простой полиэдр называется специальным, если он имеет хотя бы одну вершину и все его 2-компоненты являются клетками. Специальный полиэдр Р С М называется специальным спайном трехмерного многообразия М, если либо дМ многообразие МР гомеоморфно дМ х (0,1], либо дМ — 0 и
многообразие МР гомеоморфно открытому шару.
Хорошо известно, что каждый специальный спайн Р многообразия М порождает его разбиение £р на ручки следующим образом. Нужно заменить каждую вершину полиэдра Р на ручку индекса 0 (шар), каждое ребро — на ручку индекса 1 (балку), каждую 2-компоненту — на ручку индекса 2 (плитку). При этом объединение этих ручек должно либо совпадать с многообразием М, либо (если М замкнуто) получаться из него удалением шара (который в данном случае можно рассматривать как ручку индекса 3). Компоненты связности пересечения шаров с балками называются островами, шаров с плитками — мостами.
Определение. Пусть к — натуральное число. Замкнутая поверхность К с М называется к-нормалъной по отношению к разбиению £р, если:

Введение

Рис. 1: Допустимые окрестности точек простого полиэдра
Рис. 2: Элементарные диски в шаре разбиения £р: а) треугольный, Ь) четырехугольный, с) октагон
1) пересечение поверхности В с каждой плиткой В2 х/либо пусто, либо состоит из нескольких параллельных дисков вида О2 х {х, х2, • ■., хп}, где XI < Х2 < ■. ■ < хп — набор внутренних точек отрезка I;
2) пересечение поверхности В с каждой балкой 1 х В2 состоит из полосок вида 1x1, где I — дуга в В2 с концами на дБ2 (диск В2 можно отождествить с островом {0} х В2);
3) концы каждой дуги I принадлежат различным компонентам связности пересечения края острова с мостами;
4) пересечение поверхности В с каждым шаром состоит из дисков (эти диски называются элементарными);
5) пересечение каждого элементарного диска с каждым мостом либо пусто, либо состоит из не более чем к дуг с концами на тех островах, которые соединяет рассматриваемый мост.
В диссертации мы будем рассматривать только 2-нормальные поверхности. Край каждого шара разбиения содержит четыре острова и
Вершина
Глава 1. Полное описание нормальных поверхностей

Кроме того, в силу теоремы 1.3 сужение Ф0: С0(Р) > ^{Р) отображе-
ния Ф на множество всех допустимых комбинаций сложности 0 является биекцией. Таким образом определено отображение
г = Фо1Ф: С(Р) ->С0(Р).
Следующий алгоритм для каждой допустимой комбинации Ь находит комбинацию г(Р), имеющую сложность 0.
Алгоритм. Пусть Ь 6 С(Р), где Р — симметричный цепной спайн. Мы хотим найти комбинацию г (Г). Будем применять преобразование р к комбинации Ь до тех пор, пока это возможно. Так как каждое преобразование уменьшает сложность допустимой комбинации, этот процесс закончится после конечного числа преобразований. В результате мы получим допустимую комбинацию V. Докажем, что г(Ь) = V. Действительно, из леммы 1.6 следует, что V ~ Ь. При этом с(Ь') = 0, иначе к I! можно применить преобразование р.
Вывод. Теперь для каждого разложения Р = Ж|Ф(Л) + .. .+адФ(Р*) нормальной поверхности Р в сумму фундаментальных поверхностей мы можем найти каноническое разложение. Для этого нужно применить к комбинации Ь = Х1Р1 + .. -+ХкРк вышеизложенный алгоритм и получить комбинацию г(Ь) = г^Р -I-... + г^Рь Тогда Р = ^Ф^) + ... + ^Ф(Р(;) — искомое каноническое разложение.
Зададим на множестве Со(Р) частичную операцию ©. Пусть Ь1,Ь2 € С0(Р). Будем считать, что сумма Ь ® Ьг определена тогда и только тогда, когда в частичном моноиде С(Р) определена сумма Ь + Р2- При этом полагаем, что Ь ® Ь2 есть результат применения алгоритма к комбинации Ь -(- Р2. Другими словами,
Ьф Ь2 = г(Р 1 + Ьф).
Следующую теорему можно рассматривать как полное описание частичного моноида нормальных поверхностей для многообразий с симметричными цепными спайнами.
Теорема 1.4. Пусть Р — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия М и — отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда множество Со (Р) с операцией ® является частичным коммутативным моноидом, изоморфным частичному моноиду'^(Р) нормальных поверхностей, а отображение Фц - соответствующий изоморфизм.