Геометрические методы в получении и решении уравнений типа Монжа-Ампера на компактных и некомпактных многообразиях

• Автор: Кокарев, Виктор Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 133 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Замкнутые выпуклые поверхности с заданными

функциями условных радиусов кривизны

§1. Основные понятия и уравнения

§2. Оценка главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической

функцией условных радиусов кривизны

§3. Существование замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией условных

радиусов кривизны

Глава 2. Кэлеровы многообразия с заданными смешанными формами объема

§1. Обобщение проблемы Калаби
§2. Необходимое условие разрешимости уравнения (1)
§3. Единственность решения уравнения (1)
§4. Априорные оценки решения уравнения (1) на компактном кэлеровом многообразии положительной кривизны
§5. Условие положительной определенности искомой метрики при т = 1 для кэлеровых многообразий положительной кривизны
§6. Доказательство разрешимости уравнения (1) на компактном кэлеровом многообразии положительной кривизны
§7. Априорные оценки решения уравнения (1) на компактном кэлеровом многообразии нулевой кривизны
§8. Доказательство разрешимости уравнения (1) на торе
Глава 3. Уравнения несобственной выпуклой аффинной сферы
§1. Обобщение уравнения (1)
§2. С2 - оценки решения уравнения (7) в ограниченной
области
§3. Глобальная оценка для вторых производных решения уравнения (7)
§4. Дифференциальное неравенство для решения
уравнения (7)
§5. Доказательство теоремы о полных выпуклых решениях уравнения (7)
§6. О полных выпуклых решениях уравнения
вригт(2у) =
Литература

Введение
Геометрия — естественная область возникновения и применения уравнений Монжа-Ампера: уравнений, содержащих действительный опера-

тор Монжа-Ампера det( 0 —г) . К таким уравнениям приводят, на-
охгохЭ
пример, задачи о нахождении выпуклой поверхности с заданной гауссовой кривизной (проблема Минковского), с заданной метрикой (проблема Вейля), а также задачи, связанные с классификацией аффинных сфер. Ряд задач в геометрии приводит к комплексным версиям уравнения Монжа-Ампера: уравнениям, содержащим комплексный оператор

Монжа-Ампера с1е1(— Такое уравнение возникает при решении
проблемы Калаби.
Заметим, что указанные проблемы были поставлены не локально, а в рамках геометрии "в целом". Это позволило при их исследовании сочетать аналитические и геометрические методы. Здесь были получены классические результаты Г. Минковским, Г. Вейлем, Г. Леви, А. Д. Александровым, А. В. Погореловым, Е. Калаби, Ш. Ш. Чженем, С. Т. Яу и многими другими.
Г. Минковский доказал существование и единственность замкнутой выпуклой поверхности с заданной гауссовой кривизной [18]. Решение Г. Минковского не содержит информации о регулярности этой поверхности и поэтому называется обобщенным решением. А. Д. Александров доказал единственность замкнутой выпуклой поверхности с заданной к -та элементарной симметрической функцией главных радиусов нормальной кривизны [26]. А. В. Погорелов дал регулярное решение проблемы Минковского и ее обобщения для к -й элементарной симметрической функции главных радиусов нормальной кривизны [18]. С. Т. Яу доказал существование кэлеровой метрики на компактном кэлеровом многообра-

ip(v) = а и (Ri(u),..., Rniy)) —к-я элементарная симметрическая функ-
ция условных радиусов кривизны поверхности Б относительно Е. Тогда для радиусов нормальной кривизны поверхности Б справедлива оценка
а дифхферепцирование выполняется по длине дуги большого круга на единичной сфере в точке и в направлении у. Максимум берется, по всем точкам сферы и всем направлениям в этих точках.
Отметим, что если поверхность Е является единичной сферой, то А(и) = 1 , В(у) = 0 и полученная оценка совпадает с оценкой А. В. Погорелова из [18].
§3. Существование замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией условных радиусов кривизны.
Пусть Е — регулярная замкнутая выпуклая поверхность в евклидовом пространстве Еп+1 с положительной гауссовой кривизной. Пусть на единичной сфере Бп задана положительная регулярная функция 3.1. Необходимое условие разрешимости уравнения (4).
Для любой замкнутой выпуклой поверхности с заданной как функция единичной внешней нормали и гауссовой кривизной К (и) Минковским было доказано, что