Двойственная геометрия оснащенной гиперповерхности

• Автор: Долгов, Сергей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 156 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. Постановка вопроса

2. Актуальность темы

3. Цель работы

4. Методы исследования

5. Научная новизна полученных результатов

6. Теоретическая и практическая значимость

7. Апробация

8. Публикации

9. Вклад автора в разработку избранных проблем
10. Структура и объем работы
11. Некоторые замечания
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Г л а в а I. ПОЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
у I Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов
на распределении гиперплоскостных элементов
1. Дифференциальные уравнения распределения гиперплоскостных элементов
2. Поля фундаментальных геометрических объектов на распределении гиперплоскостных элементов
3. Поля охваченных геометрических объектов на распределении гиперплоскостных элементов
$ 2. Двойственность теории регулярного распределения гиперплос-
костных элементов
§ 3. Инвариантные оснащения распределения гиперплоскостных элементов
1. Двойственная нормализация регулярного распределения гиперплоскостных элементов
2. Оснащение в смысле Э.Картана регулярного распределения гиперплоскостных элементов
3. Оснащение в смысле Э.Бортолотги распределения гиперплоскостных элементов
4. Касательное оснащение распределения гиперплоскостных элементов, определяемое (ц-1)-тканью
£ 4. Регулярная гиперповерхность У„_1 с. Р п и ее двойственный образ
1. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов
на гиперповерхности
2. Двойственный образ регулярной гиперповерхности
3. Инвариантные оснащения регулярной гиперповерхности

Г л а в а И. ДВОЙСТВЕННЫЕ АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
£ I Аффинные связности на нормализованном распределении гиперп-
лоскостных элементов
^ 2. Двойственные аффинные связности на нормализованном распределении гиперплоскостных элементов
£ з Сопряженность пар двойственных аффинных связностей на го-
лономном распределении гиперплоскостных элементов
£ 4' Геодезические и чебышевские (п-1) -ткани на голономном распределении гиперплоскостных элементов
1. Геодезические (н-1)-ткани на голономном распределении гипер-плоскостных элементов
2. Чебышевские (н-1)-ткани на голономном распределении гиперплоскостных элементов
Глава III. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОС-
НАЩЕННОЙ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
£ 1. Двойственные проективные связности на оснащенной гиперповерхности
1. Проективные связности на регулярной гиперповерхности, оснащенной в смысле Э.Картана
2. Проективные связности на регулярной гиперповерхности, оснащенной в смысле Э.Бортолотти
$ 2. Двойственные аффинные связности на нормализованной гиперповерхности
§ 3. Двойственные аффинные связности на гиперповерхности как результат сужения двойственных проективных связностей
^ 4. Сопряженные и средние аффинные связности на регулярной гиперповерхности
$ 5. Геодезические и чебышевские сети на гиперповерхности
1. Геодезические сети на гиперповерхности
2. Чебышевские сети на гиперповерхности
ЛИТЕРАТУРА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
1. Постановка вопроса.
Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [27], если на нем определено поле некоторого геометрического объекта g (поле оснащающего объекта многообразия):
где йИ1- первичные формы; йД2 - вторичные формы Пфаффа на многообразии. Тип оснащения погруженного многообразия характеризуется строением основных функций у/* (ф), определяющих оснащающий объект gх;
в зависимости от их строения имеем различные классические оснащения многообразия (оснащение в смысле А.П.Нордена [41], Э.Картана [84],
Э.Бортолотти [82] и т.д.).
Подмногообразие (поверхность, распределение), несущее сеть (ткань) того или иного класса, как один из примеров касательно оснащенных [38], [23] многообразий, стало объектом изучения для целого ряда геометров. Среди них: А.П.Норден [41], А.И.Чахтаури [72], В.И.Шуликовский [79], [80], В.Т.Базылев [5], [6], А.В.Столяров [56], [57], [59], [61], [62], [67], М.К.Кузьмин [6], М.А.Акивис [2], Н.М.Остиану [43], А.Ё.Либер [31], [32]. С.Е.Степанов [53]-г [55] в пространстве аффинной связности (п> 2) изучает геометрию оснащений поверхности (гиперповерхности), ассоциированных с чебышевской сетью. Г.Н.Линькова [33] рассматривает сети на гиперповерхностях эквиаффинного пространства, Т.А.Шульман [81] в пространстве Р 4 исследует геометрию гиперповерхности, несущей сеть.
Теория связностей, берущая свое начало и развитие от работ Т.Леви-Чивита [87], Г.Вейля [91], Р.Кенига [86], Э.Картана [83], И.А.Схоутена [90], В.В.Вагнера [7], [8] и Ш.Эресмана [85], в настоящее время представ-

рядка гиперквадрик поля (1.43) с подмногообразием 'Л в Рп [62].
В работе [62] в дифференциальных окрестностях второго и третьего порядков текущего элемента регулярного голономного распределения ги-перплоскостных элементов 91 в Р п методом продолжений и охватов
Г.Ф.Лаптева [27] построены поля квазитензоров М‘п, р‘п, т/У1п :
1) во 2-й дифференциальной окрестности - квазитензор М‘п:
Л^" = _2(п + 1)А” [Л4+(” + 1)Л*"]’ УМп + а>п = М'п1(а0 > (1-46)
2) в 3-й дифференциальной окрестности - квазитензор Р1п
+ = (1.47)
2 ^ п +1)
где функции В к входят в дифференциальное уравнение
1пспч~а) [)— (о В^со (1.48)
относительного инварианта с п второго порядка:
(1.49)
3) в 3-й дифференциальной окрестности - квазитензор }¥гп :
УГ‘п=В1кУГпк, = (1.50)

В1д=А1°Аг„‘Р>”Ь10’}1г, В'кВкГ8), (1.51)
Кк=Ь$А»к9Ояы, (1.52)
п + 1 Л|'Л;+ „ + ]Л*Л* ^Ли . (1.53)
Система функций [62]
Г'^' + П (1.54)
на голономном распределении Ж в Рп образует тензор третьего порядка,