Инвариантные тензоры на симметрических римановых пространствах

• Автор: Борзенко, Александр Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 145 c. : ил

ГЛАВА I

ТИШ СИММЕТРИЙ ТЕНЗОРОВ

§ 1.1. Некоторые сведения из теории представлений

§ 1.2. О типах симметрий тензоров

§ 1.3. Некоторые свойства операций симметризации

и альтернирования представлений

ГЛАВА II

ИНВАРИАНТНЫЕ И КВАЗИЙНВАРИАНТНЫЕ ТЕНЗОШ

НА СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

§ 2.1. Действие группы изотропии симметрического риманова

пространства на касательном пространстве

§ 2.2. Инвариантные тензоры на симметрических пространствах
с полупростой группой вращений
§ 2.3. Квазиинвариантные тензоры на симметрических
пространствах
§2.4. Инвариантные тензоры на тех симметрических пространствах, группа вращений которых
не является полупростой
§ 2.5. Вычисление инвариантных тензоров
ГЛАВА III
ТИШ СИММЕТРИЙ ИНВАРИАНТНЫХ И КВАЗИИНВАРИАНГШХ
ТЕНЗОРОВ НА СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ 3.1. Распределение по типам симметрий инвариантных
тензоров симметрических пространств с полупростой группой вращений

§ 3.2. Распределение по типам симметрий инвариантных и квазиинвариантных тензоров симметрических пространств с неполупростой группой вращений
ПРИЛОЖЕНИЯ
ЛИТЕРАТУРА

Одним из важных направлений математических исследований является теория инвариантов групп преобразований. Это направление плодотворно развивается с середины XIX века и является актуальным в настоящее время.
Среди различных групп особенный интерес составляют линейные группы : преобразования, которые они задают, являются линейными
преобразованиями линейного пространства, т.е.,в известном смысле, самыми простыми и важными для приложений.
Линейные группы естественным образом связаны с понятием представления. Линейным представлением группы С в векторном пространстве V называется гомоморфизм её в группу невырожденных линейных преобразований пространства V. Так что каждая линейная группа определена представлением абстрактной группы.
Каждое линейное представление группы в пространстве V порождает представление группы в пространстве тензоров пространства V , где группа действует по тензорному закону. Для полупростых групп Ли "большинство" представлений эквивалентно тензорным, т.е. таким, которые действуют в пространстве тензоров.
Таким образом, исследование тензоров, инвариантных относительно заданного представления, является важной составной частью теории инвариантов групп преобразований. Выражаясь словами Г.Вейля [9], "предметом нашего изучения будут различные типы линейно преобразующихся "величин", которые можно приготовить из материала тензоров при режиме той или иной группы".
Известно, что многие физические величины носят тензорный характер ( тензор моментов инерций, тензор деформаций, тензор напряжений и т.д. )

щие компактным формам ^ и А алгебр Cj' и А, соответственно. 2/. В дальнейшем риманова пара ((J^h.) применяется для обозначения любого неприводимого вещественного риманова симметрического пространства G Iff , где и А являются комплексными расширениями вещественных алгебр Ли ^ и А , соответствующих группам Ли Q и Н. Симметрические пространства, соответствующие простой комплексной алгебре Ли Q , будем обозначать при помощи символа р
3/. Второй и третий списки содержат обозначения римановых пар без повторений. Ниже мы укажем [35] все совпадения римановых пар первого списка, и в дальнейшем (напр., табл. 5-8 ) пространство будем относить к той серии, в которой оно впервые участвует.
Совпадения симметрических пространств различных серий :
BDI(p = i,Q=2)=AI(t4=2) , BDI(p = S,p=3) - ÜLd , BDI (p=py=4)=C//tp=p=J), BDI С[(Ц=2) = BDI (p =2,ß-3), D /II(/7 = 2)= АI(ti=2),
DIU(n=4j = BDI(p= 2, $=€)> A I/I(p^=i)=Alm =2),
АIII(р=У,^3)=DIIIm=3), АIII-2) = BDI(p=2,4).
В таблице 3 приведены (см., напр.,[25],[26J,[27J ) схемы Дынкина изотропных представлений Ф неприводимых симметрических пространств с полупростой группой вращений. Для тех симметрических пространств G Iff , где Н не полупроста, указано ограничение изотропного представления Ф на полупростую часть группы Ли ИЗаметим, что представление Ф определяется римаяо-вой парой if. А*) . Другими словами, изотропные представления Ф симметрических пространств, соответствующих одной и той же римановой паре, эквивалентны.