Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта

• Автор: Монахова, Оксана Александровна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 107 с.

Глава 1. Продолжение тензорных полей с гладкого многообразия в расслоение дважды ковариантных тензоров

§ 1. Расслоение дважды ковариантных тензоров

§ 2. Функции на расслоении дважды ковариантных тензоров, порожденные

тензорными полями

§3. Вертикальный лифт тензорных полей типа (0,2)

§4. Полный лифт векторных полей

§5. Естественное продолжение диффеоморфизма базы в расслоение

Т2°(М„)

§5. Специальные вертикальные лифты тензорных полей типа (1,1)

§6. Специальные лифты тензорных полей типа (3,1)

§7. Горизонтальный лифт векторных полей

§8. Связь между полным и горизонтальным лифтом векторного поля
§9. Адаптированные реперы и кореперы на расслоении Г2°(А/И)
§10. Специальный вертикальный лифт тензорных полей типа (2,2)
§11. Специальный горизонтальный лифт тензорных полей типа (3,0)
§12. Вертикальный лифт линейных форм
Глава 2. Продолжение линейной связности с гладкого многообразия на расслоение дважды ковариантных тензоров § 1. Горизонтальный лифт линейной связности на расслоение дважды
ковариантных тензоров
§ 2. Операция ковариантного дифференцирования на расслоении Г2° (М„)
§3. Проектируемые поля и связности на Г2°(М„)
§4. Некоторые свойства горизонтального лифта связности
Глава 3. Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения
дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта
§ 1. Разложение произвольного инфинитезимального аффинного
преобразования расслоения (Г2°(М„), Vй)
§ 2. Второе разложение произвольного инфинитезимального аффинного
преобразования расслоения (Г2° (Мп), Vй)
§ 3. Инфинитезимальное аффинное преобразование пространства
(Г2°(Мп), Vй) над максимально подвижным не проективно плоским
пространством (М„,У)
Библиографический список
Теория расслоенных пространств - одна из наиболее быстро развивающихся областей в современной математике, которая в настоящее время активно исследуется. Теория расслоений возникла на стыке геометрии, анализа, теории дифференциальных уравнений, теории групп и других разделов математики и механики. Методы расслоенных пространств использует гамильтонова механика и физика, [1].
Первые результаты по теории касательных расслоений принадлежат японским математикам: Сасаки, [23], Яно, Ишихара, [26]. Наряду с касательными расслоениями с конца 60-х годов прошлого века началось изучение двойственных им кокасательных расслоений, к числу первых можно отнести работы Яно, Мока [27], [22]. В указанных работах авторы рассматривали теорию продолжения тензорных полей и аффинных связностей из дифференцируемого многообразия в его касательное и кокасательное расслоение. В известной работе Яно и Ишихара [25] подведены итоги развития геометрии касательных и кокасательных расслоений до 1973 года.
Общая теория тензорных расслоений была рассмотрена Б.Л. Лаптевым. В работе [8] он, обобщая понятие пространств Финслера, Бервальда, Картана, вводит понятие пространства тензорных опорных элементов, аксиоматически строит аффинную связность в таких пространствах путем обобщения понятия ковариантного дифференцирования. Исходя из ряда требований, определяющих строение ковариантного дифференциала относительного тензора, им было показано, что указанная связность определяется заданием некоторых пфаффовых форм [8]. Такую связность называют внутренней (инфинитезимальной) связностью расслоенного пространства.
Существенные результаты по теории внутренних связностей векторных расслоений получил Тонг, итоги его исследований подведены в

5(У7) = 0, (1.21)
то 5=0.
Доказательство. Пусть в карте (тг-1 ,xjk) форма 5 имеет представление 5= 5,- dx' + dxß., тогда из условия (1.20) получим
(5,- dx‘ + іPkdxjk ){Opq dpq) = 5,-dx‘(Opq dpq) +со'к Дгу* (£p? «?") = 5^ gj*. =0, тогда в силу произвольности поля О и непрерывности линейной формы 5: 5^ = 0.
Из условия (1.21), с учетом выше сказанного, получим 5;-dx'(Xsdj1 ) = Cüj( Xі) 1=0. В силу произвольности векторного поля X и непрерывности 5, следует 5,=0.
Таким образом, 5=0,
На основании предложения 1.35 докажем
Предложение 1.36. Для любой линейной формы со на базе существует единственная форма 5 на расслоении 7)° (Мп ), такая, что
5 ({/) = 0,
5 (У7) = (со(ХУ)г Доказательство. Докажем существование. Пусть в карте
(л-1 ([/),х‘, Xß ) 5 —(coj/ dx1. Докажем, что 5 не зависит от выбора локальной карты. Возьмем другую карту (л~1(У),х‘ ,х,-к-), тогда 5=(<у|')1 Дг'. Используем законы преобразования компонент линейной формы на базе и закон преобразования корепера (1.3) на я--1 (U) п^'1 (V).

5=(®,')Г dx' =(&>, , -){ dx‘=(со,)1 dx'.
Докажем, что 5 удовлетворяет условиям предложения 1.36.
5 (ÖK)=(wy)F^'(Öy#)=0,
5 (У7) = (co,f dxXrrf1 ) = w,-(X‘ ) l=(co(T))r.