Симплектические многообразия с контактными особенностями

• Автор: Зотьев, Дмитрий Борисович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 218 с. : ил.

Содержание

Общая характеристика работы

Глава 1. Введение

§ 1.1. Симплсктичсская и контактная геометрия

§ 1.2. Вырожденные особенности симплектической структуры

1.2.1. Исходные понятия

1.2.2. Первые результаты

§ 1.3. Частный интеграл, связанный с особенностью симплектической структуры инвариантного подмногообразия

Глава 2. Симплсктичсские особенности и теория А.Т. Фоменко

§ 2.1. Теория А.Т. Фоменко

§ 2.2. Поправки на симплсктичсские особенности

§ 2.3. Пример интегрируемой системы с особенностью
2.3.1. Случай Богоявленского
2.3.2. Контактные особенности
2.3.3. Особая поверхность
2.3.4. Обозначения
2.3.5. Метки при < к < к
2.3.6. Метки при Л2 < к < /г.
2.3.7. Метки при к0 < к < к
2.3.8. Метки при к > к
2.3.9. Топология особой поверхности

Глава 3. Симплектическис многообразия с контактными особенностями
§ 3.1. Контактные вырождения замкнутых 2-форм
3.1.1. Контактная структура на особой гиперповерхности
3.1.2. Контактные особые точки
3.1.3. Продолжения гамильтоновых полей
3.1.4. Теорема Дарбу
3.1.5. Симплектический объем
§ 3.2. Каноническая структура Ли
3.2.1. Контактные вырождения и структуры Ли
3.2.2. Контактные вырождения и симплектизация
3.2.3. Решения Фридмана
3.2.4. Контактно-связная сумма
§ 3.3. Гамильтоновы системы
3.3.1. Предельные положения
3.3.2. Теорема Лиувилля
§ 3.4. Интегрируемые контактные системы
Глава 4. Нулевая гиперповерхность электромагнитного поля
§ 4.1. Классическая теория электромагнитного поля в вакууме
§ 4.2. Нулевая гиперповерхность
§ 4.3. Тензор электромагнитного поля вблизи светового конуса
§ 4.4. Плотность токов и зарядов вблизи светового конуса
Список литературы
Рисунки

Общая характеристика работы
Актуальность темы диссертации.
Также как и риманова. симплектическая геометрия исходит из предположения о невырожденности тензора структуры [4. 58], что генетически связано с уравнениями У.Р. Гамильтона в их исходном виде [67]. Широко известны глубокие приложения симплектичсской геометрии в небесной механике и динамике твердого тела [2, 36], где фазовые пространства интегрируемых гамильтоновых систем являются симплектическими многообразиями — кокасателышми расслоениями или орбитами коприсоединенных представлений. Однако структурный тензор (замкнутая 2-форма), вообще говоря, вырождается при ограничении на подмногообразие. Последнее может представлять интерес, будучи инвариантным для гамильтоновой системы. Такие подмногообразия действительно встречаются в физически-содержательных ситуациях. Разумно предположить, что, по мерс возрастания размерностей задач, новые интегрируемые случаи будут чаще встречаться на инвариантных многообразиях (в целом нсинтегрируемых систем). Первый из таких случаев в динамике твердого тола, найденный О.И. Богоявленским в [5] и топологически изученный в [95], стал оправной точкой для этой диссертационной работы.
С другой стороны, с точки зрения математики естественно допустить, что матрица замкнутой 2-формы является невырожденной почти всюду, но вырождается в точках, составляющих подмножество меры ноль. Тогда симплектическая геометрия имеет особенности, о которых почти ничего не известно в случае, когда ранг формы падает на 2к > 2. Известная статья Ж. Мартине
[76] содержит первое и, возможно, единственное общее исследование подобных структур. Однако, в этой глубокой работе собственно симплектическая геометрия ограничена простейшим, хотя и наиболее важным случаем к = 1. Другие
исследования, как правило, вращаются около результатов Мартине и относятся к вырождениям с двумерным ядром [50, 51. 62, 70, 83. 84, 87]. Во многом это связано с объективной сложностью задачи, т.к., согласно замечанию В.И. Арнольда: отсутствие условия невырожденности в определении симплектичсской структуры делает локальную классификацию таких структур необозримой |4]. Напротив, вырожденные особенности пуассоновских структур легко поддаются изучению, т.к. они не мешают гамильтоновым полям быть всюду корректно определенными, ключая точки вырождения структурного тензора [23, 30, 90, 92,

Возникающая в случае сойти 5 = 1 альтернатива связана со знаком Р/(ш) в бесконечно тонком слое, прилегающем к гиперповерхности 5. Если при переходе из полушария 0+(р) в полушарие 0-(р) через их общую границу 5 знак Рф(со) не меняется, то поле направлений здгад(ф) гладко продолжается на весь шар 0(р) Иначе на каждом из полушарий оно продолжается так, что в точках 5 предельные направления из разных полушарий оказываются противоположными.
В дальнейшем, накладывая на особые точки условие контактности, мы узнаем о предельном поведении гамильтоновых полей существенно больше. Это позволит доказать аналог теоремы Дарбу для многообразий с контактными особенностями симплектичсской структуры, т.е доказать существование локальных координат, в которых матрица формы со приводится к блочно-диагональному виду (1.3). Этот результат получен пеною жесткого ограничения возможных вырождений формы. Однако легко видеть, что для симплектических многообразий с особенностями общность формулировки теоремы Вайнштейна недостижима.
Предложение 3 Пусть матрица замкнутой, почти всюду невырожденной 2-формы со в локальных координатах х = (ап,..., Х2к, х2к+1, ■ ■ ■, Х2п), заданных в окрестности точки р 6 0, имеет блочпо-диагоиальпый вид
0 011,2 • 01,2к
012,1 0 . • 022,2 к
012к,1 0>2к,2 ■ .
О 1 -1 О

где подматрица П равна нулю в точке р. Тогда, если для некоторой окрестности и(р) множество 5 = © П II(р) является гладким подмногообразием, то ядро 2Р формы со в точке р трансверсально Тр
Доказательство. В силу замкнутости формы со матрица П в левом верхнем углу не зависит от координат Х2к+1, ■ ■ ■ > х2п- В самом деле, при 1 < г,у < 2к имеем

ВсОгр дс02к+в]3 В(х12к 1 зг
Вх2к I Вх, ВX,
012 к+з,] = О, С02 к+а,1 = О