Виртуальные многогранники

• Автор: Панина, Гаянэ Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 144 с. : ил.

1 Виртуальные многогранники. Базовые понятия
1.1 Введение
1.2 Виртуальные многогранники и хериссоны: основные определения
1.3 Примеры виртуальных многогранников
1.4 Объем и смешанный объем виртуальных многогранников
1.5 Сети виртуальных многогранников
1.6 Изгибаемые многогранники с несвязными сетями
1.7 Жесткость виртуальных многогранников
1.8 Изгибаемые виртуальные многогранники со связными веерами. Октаэдры Брикара
1.9 Теорема Минковского и виртуальные многогранники
2 Структура группы виртуальных многогранников относительно подгрупп цилиндров
2.1 Введение
2.2 Операции над многогранниками и многогранными функциями
2.3 Оператор а
2.4 Операторы йцЯп и Выделение первого прямого слагаемого в группе V
2.5 Операторы 6ъ и 8£. Выделение последующих слагаемых
2.6 Алгоритм разложения
3 Гиперболические многогранники и задача А.Д. Александрова
3.1 Введение
3.2 Гладкие хериссоны и Гипотеза
3.3 Гиперболические многогранники и гиперболические хериссоны
3.4 Сферический график опорной функции
3.5 Пример гиперболического виртуального многогранника с N
рогами (IV четно)

3.6 Гиперболическое сглаживание

4 Гиперболические многогранники и гиперболические веера
4.1 Введение
4.2 Гиперболические веера. Раскраска
4.3 Операции над веерами
4.4 Новые примеры: гиперболические многогранники с четным
и нечетным числом рогов
4.5 Сглаживание
4.6 Аналог теоремы Мебиуса для двумерных замкнутых седло-вых поверхностей
5 Теорема единственности А. Д. Александрова для выпуклых многогранников и ее уточнения
5.1 Введение
5.2 Теорема А. Д. Александрова с точки зрения гиперболических многогранников
5.3 Основной пример. (Уточнение сверху.)
5.4 Уточнение снизу и три открытых вопроса
6 Приложение. Псевдотриангуляции и гиперболические виртуальные многогранники
Заключение

Основной объект исследования данной работы - виртуальные многогранники. Образно говоря, виртуальные многогранники суть геометрические реализации разностей Минковского выпуклых многогранников. Они определены и описаны впервые А. Пухликовым и А. Хованским (1989, [13]). Однако идея висела в воздухе задолго до этого, например с тех пор, как был открыт и изучен параллелизм между выпуклыми многогранниками и торическими алгебраическими многообразиями (см., например обзор В. Данилова [7] или Т. Ода [41]). Дело в том, что в рамках этой теории, выпуклым многогранникам соответствуют обильные обратимые пучки на торических многообразиях. Однако обратимые пучки образуют группу (группу Пикара), а многогранники - нет, т.к. не определена операция вычитания по Минковскому.
Можно пойти еще дальше и пронаблюдать идею хорошо определенного вычитания по Минковскому гладких выпуклых тел у А.Д. Александрова (см.[1]). Позднее, эта идея была реаними-рованна и развита группой французских математиков (Р. Лан-гевин, Г. Левит, X. Розенберг [31], И. Мартинес-Мор [32-34]). Они подробно изучили разности Минковского гладких выпуклых тел, т. наз. хериссоиов (hérissons) с точки зрения геометрии поверхностей. Следует отметить, что И. Мартинес-Мор построил пример седлового хериссона, благодаря чему получен отрицательный ответ на старую гипотезу о единственности выпуклых поверхностей (задачу А.Д. Александрова).
Отметим также работы X. Радштрема [43], изучавшего разности Минковского выпуклых тел, но однако не предложившего их геометрической интерпретации.
Еще одна авторитетная область, в которой естественным путем появляются виртуальные многогранники - алгебра многогранников (polytope algebra) П. Мак Маллена [35-37], являюща-ясяся прямым аналогом алгебры выпуклых цепей А. Пухликова и А. Хованского. Эта алгебра "выросла"из группы многогран-

относительно р. Замкнутый симплициалъный комплекс, порожденный набором треугольников
{АВ(2, ВСС,IСБС}, АБС}, АВО!, ВС$, СБ$, АБС}'} называется изгибаемым октаедром Брикара второго рода.
Эти комплексы действительно изгибаемы: для каждого из них существует нетривиальное (т. е. не порожденное общим движением треугольников) непрерывное изгибание.
Ниже мы рассмотрим частные примеры октаедров Брикара.
В каждом из рассмотренных случаев существует виртуальный многогранник К такой, что замыкания носителей его граней совпадают с описанными выше наборами треугольников.
Таким образом, мы имеем изгибаемые виртуальные многогранники со связными сетями.
Заметим также, что не каждый октаедр Брикара может быть подобным образом превращен в виртуальный многогранник.
Пример 1.8
Рассмотрим октаедр Брикара В (первого или второго типа) как на рис. 1.8.4. А именно, потребуем чтобы набор треугольников {АВС^, ВСС}, СБС^, АБС}} (так же, как и набор{АВф', ВСС,У, СБб$, АБС^'}) образует седло. Для удобства мы рисуем только треугольники, содержащие С).
Зафиксируем ориентации граней выбором нормали (см. рис. 1.8.4) и отметим на сфере концы нормалей.
Существует веер Е с вершинами в отмеченных точках такой, что две отмеченные точки на 52 соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие грани соседствуют в комплексе В. Более того, комбинаторно веер Е двойственен комплексу В.
Разумеется, веер Е не выпуклый.
Согласно Теореме , существует единственный виртуальный многогранник К = К(В), веер которого равен Е, а замыкания носителей граней формируют требуемый комплекс.