Три-ткани с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения

• Автор: Пиджакова, Любовь Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 104 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
0.1 Общая характеристика работы
0.2 Краткое содержание диссертации
1 Структурные уравнения и основные свойства три-тканей с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения
1.1 Структурные уравнения многомерной три-ткани IV
1.2 Некоторые специальные классы многомерных три-тканей
1.3 Структурные уравнения ткани У
1.4 Редуктивная структура, связанная с три-тканью ІУ'7
2 Четырехмерные изоклинно-геодезические
три-ткани У
2.1 Структурные и конечные уравнения четырехмерной изоклинно-геодезической три-ткани IУ
2.2 Изоклинная структура три-ткани У
2.3 Строение группы Є, определяющей три-ткапь Иу)7
2.4 Симметрическая структура многообразия три-ткани
2.5 А-свойства три-ткани ]У

3 Некоторые специальные классы многомерных тканей
3.1 Три-ткани XV47 с тензором кривизны минимального ранга
3.2 Изоклинные три-ткани Ж47
Литература

ВВЕДЕНИЕ
0.1 Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования. Теория три-тканей — сравнительно молодой раздел дифференциальной геометрии. Впервые три-ткани начали изучать в 1926-1928 годах участники гамбургского геометрического семинара под руководством известного математика 20 века Вильгельма Бляшке. Они определили различные типы конфигураций на. криволинейной ткани и показали, что каждой конфигурации соответствует некоторое алгебраическое тождество. Результаты этих исследований были опубликованы в [8], библиографию см. в [6|. В 1936 году появилась работа Черна [24], в которой он методом внешних форм
Э. Картана изучает геометрию многомерных три-тканей, образованных тремя семействами г-мерных поверхностей в 2'г-мерном пространстве.
Следующий этап в исследовании многомерных три-тканей связан с развитием метода внешних форм в работах С.П. Финикова, Г.Ф. Лаптева, A.B. Васильева и других российских математиков [10], [17], [23]. В 1969 году была опубликована работа М.А. Акивиса [1J, в которой записаны структурные уравнения многомерной три-ткани и определены важнейшие специальные классы тканей. Далее последовала серия работ по теории тканей как самого М.А. Акивиса, так и его коллег и учеников: В.В. Гольдберга, А.М. Шелехова, А.Д. Иванова, Г.А. Клеков-кина, В.В. Тимошенко, B.C. Болодурипа, Г.А. Толстихиной и многих других. К настоящему времени в данной области получен целый ряд фундаментальных результатов, которые отражены в обзорах и монографиях [2] - [6], [21], [25], [26].

С учетом (1.45) соотношения (1-43) преобразуются в следующие:
а1пкЩрЯ + = 0- (1-46)
Доказана
Теорема 1.8. Тензор кручения ткани И7'7 удовлетворяет тождеству Якоби (1.42), ее тензор кривизны симметричен по всем нижним, индексам, и эти тензоры связаны соотношениями (1.44)-(1.46).
В безындексной форме соотношения (1.44)-(1.46) записываются следующим образом:
ЬШ, Г], С), и, V) - Ь(Ъ(£, и, и), Г], С) - Ь(£, Ь(г]. и, и), () - Ь(ф 77, Ь((, и, и)) = О,
(1.44')
Ь(ф 77, а(и, ц» = 0, (1-45')
а(6(ф и, и), т/) + а(£, Ь(т?, и, у)) = 0. (1.46')
Соотношения (1.44') — (1.46') можно интерпретировать и в других терминах.
Рассмотрим оператор Ь — £>(£, 77) = (б}(£, 77)), определенный следующим образом:
= УУУ,
где ф 77 - произвольные векторы. Тогда соотношения (1.43) перепишутся в виде:
т Ы г и*п , г т,ггг
азк°т ~ атк°з > азт°к
Сворачивая последние соотношения с ар, тД, получим соотношение
КУУ) = а(ЧО,п)) +а(£,Цп)),
которое означает, что верно