Обобщенная задача прообраза

• Автор: Фролкина, Ольга Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 135 с.

Глава 1. Обобщенная задача прообраза

1.1 Введение

1.2 Постановка

1.3 Примеры

1.3.1 “Меры малости” множеств

1.3.2 Простейшие примеры

1.3.3 О задаче совпадения Брукса-Брауна

1.3.4 Более сложные примеры

1.3.5 Взаимосвязи разных задач

1.3.6 Перенос аппарата при помощи преобразований

1.4 Классы Нильсена

1.4.1 Поднятия и накрытия Хопфа
1.4.2 Определение, свойства
1.4.3 Классы Нильсена в терминах универсальных накрытий
1.5 Классы Рейдемейстера
1.5.1 Посредством групп преобразований накрытий
1.5.2 Посредством фундаментальных групп
1.5.3 Посредством накрытий Хопфа
1.5.4 И- множества
1.5.5 Взаимосвязь классов Нильсена и Рейдемейстера
1.6 Топологическое число Нильсена
1.6.1 Вспомогательные понятия и результаты
1.6.2 Определение, простейшие свойства
1.6.3 Классический случай
1.7 Индекс, алгебраическое число Нильсена
1.7.1 Индекс в общем случае
1.7.2 Случай многообразий
1.7.3 Алгебраическое число Нильсена
1.7.4 Число Лефшеца
1.8 Теоремы типа Янга
1.8.1 Результаты типа Брукса-Брауна
1.8.2 Основной результат
1.9 О локальной теории Нильсена
Глава 2. Минимизация количества классов Нильсена
2.1 Введение

2.2 Основная теорема
2.3 Примеры и следствия
2.4 Вспомогательные утверждения
2.5 Доказательство теоремы 2
Глава 3. Относительная задача прообраза
3.1 Введение
3.2 Задача минимизации
3.2.1 Относительные числа Нильсена
3.2.2 Минимизационная теорема
3.3 Точки прообраза на дополнении
3.3.1 Слабо общие классы
3.3.2 Описание слабо общих классов в терминах универсальных накрытий
3.3.3 Поведение слабо общих классов при гомотопии
3.3.4 Числа Нильсена для дополнения
3.3.5 Теорема одновременной минимизации
3.3.6 Замечание о минимизации на дополнении
3.4 Случай неизбегаемого подмногообразия
3.4.1 Избыточные точки прообраза
3.4.2 Избыточное число Нильсена
3.4.3 Теорема минимизации для дополнения
3.5 Следствия для других задач
3.5.1 Относительная задача корней
3.5.2 Относительная задача общего прообраза
3.5.3 Относительная задача совпадения набора отображений
3.5.4 Относительная задача неподвижной точки
3.6 Вспомогательные результаты
Глава 4. Числа типа Лефшеца для отображений
сильно многообразно-подобных пространств
4.1 Введение
4.2 Сильно многообразно-подобные пространства
4.3 Числа типа Лефшеца
4.3.1 Задача прообраза
4.3.2 Задача пересечения
4.3.3 Расширение преобразований МакКорда
4.3.4 Теоремы типа Лефшеца
4.3.5 Числа типа Лефшеца для других задач

Глава 5. Общая неподвижная точка
коммутирующих отображений отрезка
5.1 Введение
5.2 Пилообразные отображения
5.3 Кусочные отображения
5.4 Теоремы об общей неподвижной точке
5.5 Многочлены Чебышева
Список литературы

Предложение 1.18. (1) Число Na(f,u, В) является В-инвариантом.
(2) Имеют место неравенства
ада;,В) ^ Nt{f,n,B) < МРc](f,B,B) ^ МР(f,H,B).
В случае гладких многообразий подходящих размерностей (см. раздел 1.7.2) будем обозначать алгебраическое число Нильсена символом Na(f, В), или подробно Na(f : X -» Y D В) и говорить просто об алгебраической (не)существенности классов. Отметим, что (в гладком случае) фиксация ориентаций рассматриваемых многообразий нужна для введения индекса, но алгебраическое число Нильсена от нее не зависит. Заметим также, что в статье [40] используются другие обозначения и алгебраическое число Нильсена явно не введено. Но фактически в рассуждениях Добренько и Кухар-ского содержатся доказательства гомотопической инвариантности чисел Nt{f,B) и Na(f,B), неравенств Na(f,B) ^ Nt(f,B) ^ МР(/, В) и мини-мизационной теоремы: при dimX ^ 3 приведенные неравенства являются равенствами [40, теорема 3.4]. Напомним, что в случае равенств (также и в п.(2) предложения 1.18) говорят, что задача / : X -* Y D В, И обладает свойством Векена.
Замечание 1.6. Отметим, что в тривиальном случае: если X конечно, В, Y — гладкие замкнутые ориентируемые многообразия, dim У = dim В, каждая задача / : X -» Y D В обладает свойством Векена.
Как уже говорилось, получение общих, “универсальных” содержательных теорем, видимо, невозможно. Например, для произвольного семейства И теорема типа Векена по-видимому, неверна даже для отображений многообразий. Относительно свойства Векена см., например, работы [36], [85].
1.7.4 Число Лефшеца
Определение 11. Значение индекса о;(/,/_1(В)) = ш(/,Х) назовем числом Лефшеца; обозначение: L(f,u,B).
В случае полного семейства В, для рассмотренных выше случаев многообразий (раздел 1.7.2) пишем просто L(/, В) (и говорим о классическом числе Лефшеца).
Очевидно следующее утверждение:
Предложение 1.19. (1) Число В) является Н-инвариантом.