Топология прямой Зоргенфрея

• Автор: Патракеев, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 70 с.

Обозначения и терминология

Глава 1. Непрерывные отображения между степенями прямой Зоргенфрея

§1.1. Уплотнения

§1.2. Другие непрерывные отображения

Глава 2. Связь между прямой Зоргенфрея и вещественной прямой

§2.1.Непрерывные отображения прямой Зоргенфрея и ее степеней на вещественную прямую и отрезок

§2.2. Пространство непрерывных функций над прямой Зоргенфрея

Литература

Впервые прямая Зоргенфрея, также называемая стрелкой встречается в книге “Мемуар о компактных топологических пространствах” П.С. Александрова и П.С. Урысона в 1929 году [1]. В этой книге Александров и Урысон рассматривают топологическое пространство две стрелки, которое служит примером сепарабельного совершенного компакта с первой аксиомой счетности без второй аксиомы счетно-сти. При этом пространство две стрелки является дизъюнктным объединением двух множеств (“стрелок”), каждое из которых в наследственной топологии является прямой Зоргенфрея. С точки зрения Д.Кэмерона, которое он высказал в справочнике по истории общей топологии 1993 года издания [21], Р.Зоргенфрей открыл стрелку независимо в 1947 году — в том году вышла статья Зоргенфрея [48], в которой он представил топологическое пространство 8 в качестве контрпримера, показывающего, что квадрат паракомпакта может не быть нормальным. Впоследствии пространство § назвали прямой Зоргенфрея.
Итак, прямая Зоргенфрея, которую мы будем обозначать символом 8, представляет из себя числовую прямую с топологией, базу которой образуют все полуинтервалы вида [а, Ь). Это пространство и производные от него очень часто встречаются в различных работах по общей топологии в качестве контрпримера к тем или иным гипотетическим утверждениям — собственно в качестве такого контрпримера оно и

было придумано. Ричард Энгелькинг в книге “Общая топология” [12] называет его “универсальным контрпримером” в общей топологии. Из свойств этого пространства в первую очередь нужно отметить следующие: прямая Зоргенфрея является сепарабельным, совершенно-нормальным, наследственно линделефовым, с первой аксиомой счетности, без второй аксиомы счетности, с несчетным сетевым весом, наследственно несвязным, сильно нульмерным, не Е -компактным, не локально-компактным, псев-дометрическим не метризуемым топологическим пространством, квадрат которого не нормален. За последние почти 60 лет вышло много статей, касающихся непосредственно свойств этого пространства. Сделаем небольшой исторических обзор этих материалов.
В 1971 году Р.Хис и Е.Майкл доказали [37], что любая конечная и счетная степени прямой Зоргенфрея являются совершенным пространством, при этом они указывают, что таким образом прямая Зоргенфрея является примером совершенного пространства, любая конечная и счетная степень которого совершенна, которое при этом не является полу-расслаиваемым (зегш-Б^аВбаЫе) пространством. А в 2002 году Т.О.Банах показал [16], что прямая Зоргенфрея также является примером четверть-расслаиваемого ^иагЬег-зиаБйаЫе), но не полу-расслаиваемого пространства.
В том же году Е.Майкл опубликовал статью о сохранении паракомпактности и свойства Линделефа конечными и счетными произведениями [43]. В этой статье он указывает, что прямая Зоргенфрея удовлетворяет первой аксиоме счетности, наследственно сепарабельна, наследственно линделефова, любое ее несчетное подмножество имеет несчетный сетевой вес. Кроме ЭТОГО множество О = {х 6 5" | 1щ=1,г*(х) = г е К} является замкнутым дискретом в §". И главный для нас результат — Майкл доказал, что при СН для любого п £ N существует подмножество прямой Зоргенфрея У С 3 такое, что У, У2, ..., У" — наследственно линделефовые пространства, а У"+1 даже не нормально.
В 1972 году Д.Лутцер в статье [40] доказал, что любая конечная и счетная степе
Глава 2.
Связь между прямой Зоргенфрея и вещественной прямой.
§ 2.1. Непрерывные отображения прямой Зоргенфрея и ее степеней на вещественную прямую и отрезок.
Нужно сразу отметить, что не существует непрерывного отображения вещественной прямой или отрезка ни на какое подмножество прямой Зоргенфрея или ее конечной степени, отличное от одноточечного. Это утверждение следует из того, что непрерывный образ связного пространства связен, а прямая Зоргенфрея наследственно несвязна.
Что касается отображений, о которых идет речь в этом параграфе, то тождественное отображение на числовой прямой является уплотнением В на К (так как топология прямой Зоргенфрея сильнее евклидовой топологии). Кроме этого было известно, что метрические образы прямой Зоргенфрея являются в точности А -пространствами [7] и что открытые метрические образы конечных степеней прямой Зоргенфрея полны по Чеху [49].