Максимальные действия торов на момент-угол многообразиях

• Автор: Ероховец, Николай Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 125 с.

Оглавление
Введение

1 Основные понятия и конструкции

1.1 Выпуклые многогранники и симплициальныс комплексы

1.1.1 Многогранники

1.1.2 Перечисляющие полиномы

1.1.3 Симплициальные комплексы

1.1.4 Конструкция многогранника Ри

1.1.5 г-перестройки

1.1.6 Диаграммы Гейла

1.2 Момент-угол многообразия

1.3 Биградуированные числа Бетти
1.4 Циклические многогранники
2 Максимальные действия торов и число Бухштабера
2.1 Определение числа Бухштабера
2.2 Комбинаторное описание
2.3 Обзор известных фактов
2.4 Свойства максимальной размерности подгрупп, свободно действующих на 2р
3 Многогранники с малым числом гиперграней
3.1 Многогранники с т = п + 2 гипергранями
3.2 Многогранники с т = п + 3 гипергранями
3.2.1 Геометрическое описание
3.2.2 Комбинаторный тип
3.2.3 Диаграммы Гейла

3.3 Описание множества г-перестроек
3.4 Вычисление /г-полинома
3.5 Вычисление числа Бухштабера
3.6 Вычисление биградуированного кольца когомологий Ы*’*(Др)
3.7 Топологический тип момент-угол многообразий
4 Нестоэдры, отвечающие полным двудольным графам и гипотеза Гала
4.1 Нестоэдры
4.2 Многогранники Ррл
4.3 Гипотеза Гала для нестоэдров Ррл
4.4 Примеры
4.4.1 Многогранники РРу2
4.4.2 Многогранники Рр>А
5 Кольца многогранников и универсальный д-полином 100'
5.1 Кольца выпуклых многогранников и алгебра Рота-Хопфа
5.1.1 х-кольцо многогранников
5.1.2 Алгебра Рота-Хопфа
5.1.3 *-кольцо многогранников
5.1.4 Операторы на кольцах многогранников
5.2 Квазисимметрические функции и алгебра Лейбница-Хопфа
5.3 Модули Хопфа
5.4 Универсальный (7-полином
5.4.1 Конструкция
5.4.2 Применения
5.5 Кольцо простых многогранников и максимальные действия торов
А Уравнения для производящих функций циклических многогранников
Литература

Введение
О теме диссертации
Теория действий тора имеет длинную историю развития и образует важную область алгебраической топологии. За последние 15 лет на стыке эквивари-антной топологии, алгебраической и симплектической геометрии, комбинаторики, коммутативной и гомологической алгебры возникла новая область исследований — торическая топология, которая быстро привлекла внимание большого числа исследователей и активно развивается в настоящее время. Bot второй половине прошлого века в алгебраической геометрии возникло важное направление исследований - торическая геометрия, центральным объектом которой являются торические многообразия. Она является богатым источником явных примеров алгебраических многообразий и имеет яркие приложения в таких областях, как теория особенностей и математическая физика. В работе М. Дэвиса и Т. Янушкевича [31] были введены квазиторические многообразия - топологические аналоги торических многообразий из алгебраической геометрии, а также малые накрытия - вещественные аналоги квазито-рических многообразий. Квазиторическое многообразие М2п снабжено действием n-мерного тора Тп, локально имеющего вид стандартного действия Г” на Сп, причём пространством орбит является простой многогранник Рп, комбинаторика которого тесно связана с топологией многообразия, например числа Бетти /32к(М2п) равны h-числам hk(Pn). Квазиторические многообразия и малые накрытия дают большой набор примеров многообразий с богатой геометрией. Например, В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов и Н. Рэй [8, 29] показали, что в размерностях, больших двух, каждый класс комплексных кобордизмов содержит связное квазиторическое многообразие с естественной стабильно комплексной структурой, согласованной с действием тора, а

Удобно считать, что срезание вершины простого многогранника является 1-перестройкой, а обратная операция - га-нерестройкой.
Отметим, что г-перестройка многогранника Р соответствует (г — 1)-бизвёздному преобразованию комплекса Кр (см., например, [7]).
Предложение 1.1.47. Пусть многогранник <3 получается из многогранника Р при помощи г-перестройки. Тогда
г3-№ — Пр'їЗ
6(0) = /г(Р) -1 —, г СУ с
Доказателъство. Легко видеть, что множества граней многогранников Р и <3 отличаются на грани, лежащие в выделенных симплексах Дг_1 и Д7’-1 соответственно. Таким образом,
1—1 / . ч г
аНп~к
гп+1Н (а + бу_ - Р+1~1 (а + гу а
Поэтому к(С}) - к(Р) = /(Р) (а -t,t) - /(б?) (а - г, €) = □
1.1.6 Диаграммы Гейла
Конструкция 1.1.48 (диаграмма Гейла (см. [44, 66])). Пусть Р - многогранник вида (1.1). Рассмотрим матрицу II е Ма1т_„_1Хт(М) ранга т—п—1, такую что II (ар ь) = 0. Положим
гг, = туут, если Щ ф 0 и = О, иначе , г = 1
|Рг|
Набор точек {гг-х

Р| ф 0 тогда и только тогда, когда 0 £ сопу {д/ДеНуз причём для грани Д = р) Р,
/ = {): С С РД тогда и только тогда, когда О Є геШйсопу {uj}jє[m]I