Базисные вложения графов и метод трехстраничных вложений И. А. Дынникова

• Автор: Курлин, Виталий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Содержание
Введение

1. Базисные вложения графов

1.1. Истоки базисных вложений графов

1.2. Критерий базисной вложимости графов

1.3. Запрещенное и универсальное семейства графов

2. Метод трехстраничных вложений И. А. Дынникова

2.1. Заузленные графы в трехмерной топологии

2.2. Взаимно однозначное кодирование заузленных графов

2.3. Алгебраические и геометрические следствия

1. Базисные вложения графов

1.1. Примеры и план доказательств
1.1.1. Примеры на базисные вложения
1.1.2. Вычисления дефекта графов
1.1.3. Частные случаи теоремы 1.
1.1.4. План доказательства теоремы 1.
1.2. Необходимые условия базисной вложимости
1.2.1. Геометрический критерий базисного вложения
1.2.2. Ограничение на первое число Бетти графа
1.2.3. Охлопывание базисного вложения
1.2.4. Доказательство необходимости в теореме 1.
1.2.5. Грубое ограничение на дефект графа
1.2.6. Тонкое ограничение на дефект графа
1.3. Конструкция универсальных графов
1.3.1. Универсальные листья и сердцевина
1.3.2. Тонкая ветвь
1.3.3. Толстая ветвь
1.3.4. Универсальное дерево
1.3.5. Универсальный граф
1.4. Построение базисного вложения
1.4.1. Сильно базисное и совершенно базисное вложения
1.4.2. Совершенно базисное вложение универсального листа
1.4.3. Совершенно базисное вложение сердцевины
1.4.4. Совершенно базисное вложение тонкой ветви

1.4.5. Совершенно базисное вложение толстой ветви
1.4.6. Сильно базисное вложение универсального дерева
1.4.7. Базисное вложение универсального графа
1.5. Доказательство достаточности в теореме 1.
1.5.1. Случаи плоскости Е х Е и цилиндра К х Я
1.5.2. Редукция к связному дереву
1.5.3. Выделение удовлетворительных точек
1.5.4. Выделение сердцевины
1.5.5. Достраивание тонкой и толстой ветвей
1.5.6. Окончание доказательства теоремы 1.
1.6. Доказательство следствий 1.1-1.
1.6.1. Доказательство следствий 1.1 и 1.
1.6.2. Доказательство следствия 1.
1.6.3. Доказательство следствий 1.4, 1.5 и 1.
Метод трехстраничных вложений И. А. Дынникова
2.1. Геометрический СМЫСЛ полугрупп Я5бп И МЯйп
2.1.1. Геометрический смысл букв алфавита А,!
2.1.2. Локальные движения в трехстраничном подходе
2.1.3. План доказательства теоремы 2.
2.2. Трехстраничные вложения заузленных графов
2.2.1. Формальное определение трехстраничного вложения
2.2.2. Построение трехстраничного вложения
2.2.3. Доказательство теоремы 2.1а
2.2.4. Сбалансированные слова в алфавите А,,
2.3. Графовые плетения и трехстраничные плетения
2.3.1. Графовые плетения
2.3.2. Полугруппа Ж7Т„ графовых плетений
2.3.3. Трехстраничные плетения
2.4. Доказательства основных результатов
2.4.1. Полугруппа ЯВТп почти сбалансированных плетений
2.4.2. Доказательство теоремы 2.
2.4.3. Доказательство теоремы 2.1в и следствий 2.1а, 2.2а
2.4.4. Случай нежесткой изотопии и заузленных ./-графов
2.5. Доказательство леммы 2.
2.5.1. Новые эквивалентности слов в полугруппе Д5Ттп
2.5.2. Разложение г-ебалансированных слов
2.5.3. Вывод соотношений 2.6. Приложения метода трехстраничных вложений
2.6.1. Группа заузленного графа и многочлен Александера
2.6.2. Классификация заузленных цепочек
2.6.3. Трехстраничный индекс заузленных графов
2.6.4. Группы, ассоциированные с полугруппами ЯЯОп, А5СП
Литература ЮЗ
Введение
Настоящая диссертация представляет собой исследование по современной геометрической топологии. В первой главе изучаются базисные вложения графов. Во второй главе вводится взаимно однозначное кодирование для всех изотопических классов заузленных графов в К3. Результаты обеих глав основаны на геометрических методах построения вложений графов в книжку со страницами. Во введении даются мотивировки исследований, вводятся ключевые понятия, формулируются известные результаты и теоремы автора.
1. Базисные вложения графов.
Первый параграф введения относится к главе 1. В пункте 1.1 обсуждаются вопросы, которые привели к понятию базисного вложения. В пункте 1.2 даются необходимые определения и формулируется критерий базисной вложимости графов в книжку со страницами (теорема 1.1). Пункт 1.3 посвящен следствиям этого критерия о запрещенных и универсальных семействах графов.
1.1. Истоки базисных вложений графов.
Под топологическим вложением понимается гомеоморфизм на образ. Свойство базисности усиливает понятие топологического вложения. Это свойство связано с вопросом представления непрерывных функций многих переменных на компактах в виде суперпозиции непрерывных функций меньшего числа переменных. Базисные вложения стали изучаться в работах, мотивированных решением А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда 13-й проблемы Д. Гильберта. Д. Гильберт сформулировал свою знаменитую 13-ю проблему так: ’’доказать, что уравнение 7-й степени х7 + ах3 + Ьх2 +сх +1 = 0 имеет решения (непрерывно зависящие от параметров а, Ь, с), которые не выражаются в виде суперпозиции непрерывных функций только двух аргументов”. А. Н. Колмогоров каждую непрерывную функцию многих переменных сумел представить в виде суперпозиции непрерывных функций только трех переменных [6]. В. И. Арнольд случай трех переменных свел к случаю двух[1], см. также [2]. После этого А. Н. Колмогоров доказал, что каждая функция, непрерывная на га-мерном кубе /’*, представляется в виде суммы (2п4- 1)-ой непрерывной функции одного переменного [7]. Ниже формулируется только ослабленная версия этой теоремы. Через С(Х, У) обозначается пространство непрерывных функций X —> У.
Теорема 1А (А. Н. Колмогоров [7]). При п > 2 существует такое семейство функций {ф;}^1 С С(1п-,Щ, что любая функция / € С(/";К) представляется в виде }{х) = '£л=11 зАрЛх)), X = (хь.. .,хп)е Iй, & £ С (К; К).

1.3 Конструкция универсальных графов.

элемент универсального графа — сердцевина, т.е. дуга с отмеченными точками трех видов (замечательные, хорошие и удовлетворительные). Приклеивая универсальные листья к замечательным точкам сердцевины, построим тонкую ветвь (пункт 1.3.2). Присоединяя в хороших точках одной тонкой ветви другие тонкие ветви, прийдем к толстой ветви (пункт 1.3.3). Проделывая аналогичную операцию с толстыми ветвями, получаем универсальные деревья (пункт 1.3.4). Наконец, для образования циклов склеим пары точек разрыва, что даст произвольный универсальный граф (пункт 1.3.5).
1.3.1. Универсальные листья и сердцевина.
Универсальные листья £4 (К) вводились в определении 1.6, см. пункт 1.3 введения. В пункте 1.5.1 будет доказано, что все листья £4(К) образуют универсальное семейство графов (в смысле определения 1.5) для базисных вложений в плоскость К х К. Приклейка универсального листа8 £4 (К) в любой точке графа О, отличной от его вершины и не лежащей на висячем ребре, не влияет ни на дефект 5(0), ни на первое число Бетти 6(6). Поэтому такая приклейка универсального листа сохраняет возможность базисной вложимости графа О в книжку К х Тп<т. В параграфе 1.4 базисные вложения будут продолжаться на приклеиваемые универсальные листья.
Определение 1.11 (универсальные графы £4(Д1) для цилиндра). Отметим к различных точек на окружности Д1 и назовем их замечательными. В каждой замечательной точке приклеим универсальный лист £4 (К) и висячее ребро (см. рисунок 1.2 в пункте 1.3 введения). Полученный граф £/ДД1) имеет ровно 1 цикл и дефект <5(£/Л;(51)) = 0, т.е. он удовлетворяет всем условиям теоремы 1.1 (при п = 0, т = 1). Семейство графов {£4(ДХ)} назовем универсальным для базисных вложений в цилиндр 1 х й1.
Пусть I — произвольная дуга с концами г, е. Допускается случай I = г = е (тогда переходим к следующему пункту).
Определение 1.12 (сердцевина, корень и конец). Выберем произвольные различные точки трех видов (замечательные, хорошие и удовлетворительные) на дуге I, отличные от концов г, е, и назовем их отмеченными. Дуга I с отмеченными точками называется сердцевиной. Один конец г дуги I считается корнем сердцевины, а другой конец е — концом сердцевины I.
Пример 1.18 (сердцевины), а) Множество I = г — е из одной точки является сердцевиной. Обычная дуга I без отмеченных точек тоже будет сердцевиной.
б) Пусть дуга I и [0,1] имеет концы г ф е. Поставим на ней к замечательных точек. Из такой сердцевины 7 далее получится универсальный граф ^(Д1) для цилиндра К х Д1 (см. пример 1.226 в пункте 1.3.5).
в) На рисунке 1.9 (см. пункт 1.4.3) сердцевина показана самыми толстыми линиями. Она имеет корень г = уд, замечательную точку р, хорошие точка у и д', удовлетворительную точку щ и конец «
8Универсальный лист всегда приклеивается по своему корню, а висячее ребро — по своему концу.