Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем

• Автор: Ошемков, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 268 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. Особенности интегрируемых гамильтоновых систем

1.1. Топологический анализ интегрируемых гамильтоновых систем

1.2. Невырожденные особенности

1.3. Почти прямые произведения

Глава 2. Классификация седловых особенностей интегрируемых

гамильтоновых систем

2.1. Атомы и /-графы

2.2. Обзор известных результатов о седловых особенностях

2.3. Построение инварианта
2.4. Доказательство теоремы классификации
2.5. Алгоритм перечисления седловых особенностей
2.6. Сомножители минимальной модели
2.7. Случай особенностей сложности
2.8. Пример особенности, не являющейся почти прямым произведением . .
Глава 3. Классификация потоков Морса-Смейла на двумерных
многообразиях
3.1. Классификация потоков Морса
3.2. Сравнение некоторых известных инвариантов
3.3. Классификация потоков Морса-Смейла
3.4. Кодирование и перечисление потоков
Глава 4. Топология множества особенностей интегрируемой гамильтоновой системы
4.1. Особенности интегрируемой гамильтоновой системы как особенности набора сечений комплексного расслоения 161 •
4.2. Топологические свойства комплекса особенностей для систем с двумя степенями свободы

Глава 5. Примеры вычисления инвариантов интегрируемых систем
5.1. Интегрируемый случай Соколова на бо(4)
5.2. Задача двух центров на сфере
5.3. Многомерный волчок Эйлера-Манакова
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация является исследованием в области топологии интегрируемых систем. В ней разрабатываются новые методы изучения особенностей интегрируемых гамильтоновых систем, которые затем применяются для классификации некоторых типов особенностей, изучения их полулокальиых и глобальных свойств, а также для исследования топологии нескольких конкретных интегрируемых систем.
Хорошо известно, что топологические свойства интегрируемой гамильтоновой системы тесно связаны со структурой особенностей соответствующего ей отображения момента. Прообразы регулярных значений этого отображения являются инвариантными многообразиями системы, диффеоморфными фактору Мп по некоторой решетке. Например, если фазовое пространство системы компактно, то, как следует из классической теоремы Лиувилля, такие инвариантные многообразия диффео-морфны п-мерным торам (называемым торами Лиувилля), на которых траектории системы являются условно периодическими.
Если рассматривать прообразы всех точек при отображении момента, то соответствующее слоение на фазовом пространстве системы (называемое слоением Лиувилля) имеет особенности. Кроме торов Лиувилля у него имеются слои, содержащие особые точки отображения момента. Слоение Лиувилля в окрестности этих особых слоев устроено более сложно как с топологической точки зрения, так н с точки зрения динамики.
Локальная классификация невырожденных особенностей для интегрируемых гамильтоновых систем хорошо известна. А именно, тип особенности полностью определяется количеством ее гиперболических, эллиптических и фокусных компонент. Однако для описания топологии конкретной интегрируемой системы необходимо исследовать структуру особенности не'в малой окрестности особой точки, а в окрестности всего особого слоя, содержащего эту точку. Иногда такое исследование особенности называют полулокальным.

Из теоремы Лиувилля следует, что любую интегрируемую гамильтонову систему с п степенями свободы в окрестности тора Лиувилля можно рассматривать как прямое произведение п тривиальных систем с одной степенью свободы. Теорема Элиассона говорит о том, что локально каждая невырожденная особенность может быть разложена в прямое произведение базисных невырожденных особенностей (двумерных и четырехмерных).
Как было доказано Н. Т. Зунгом (см. теорему 3), аналогичное описание топологии невырожденных особенностей существует и в полулокальном случае. Это описание дается в терминах “почти прямых произведений”, которые определяются следующим образом.
Рассмотрим особенность V = х • ■ - х Ут, являющуюся прямым произведением особенностей, и действия рт конечной группы С? на ее сомножителях,
удовлетворяющие следующим условиям:
• каждое отображение Рг(д) ■ Щ —> является симплектоморфизмом, сохраняющим функции, которые определяют слоение Лиувилля на IV,;
• действие р группы (7 на и = IVI х • ■ ■ х Цт, заданное формулой р(д)(хь...,хт) = (р1(й’)(ж1),...,рт{д)(хт)), свободно.
Факторизуя пространство II = х • • - х Ут по действию р группы 67, мы
получаем гладкое многообразие С//С7, причем симплектическая структура и коммутирующие функции, определяющие слоение Лиувилля, переносятся естественным образом с и на [//(?.
Определение 8. Особенности вида (И^ х • • • х 1Кш)/0 называются почти прямыми произведениями. Особенности, лиувиллево эквивалентные почти прямым произведениям, будем называть особенностями типа почти прямого произведения.
Оказывается, что все невырожденные особенности, удовлетворяющие некоторому естественному “условию нерасщепляемости”, лиувиллево эквивалентны почти прямым произведениям простейших (двумерных и четырехмерных) особенностей.
Далее мы будем в основном рассматривать гиперболические особенности ранга 0. Поэтому сформулируем здесь “условие нерасщепляемости” (определение 9) и “теорему о разложении” (теорема 3) лишь для этого случая (соответствующие определения и формулировки в общии случае см. в [121], [12], [74, раздел 4.3]).