Конфигурационные свойства ельмслевовых проективных плоскостей

• Автор: Елисеев, Е.М.
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Смоленск
• Количество страниц: 139 c. : ил

§1. Проективные и аффинные плоскости и конфигурации
§2. Проективные и аффинные ельмслевовы плоскости
§3. Координатизаадя елъмслевовнх плоскостей.
§4. Коллинеации
Глава I.
Конфигурационные свойства Н-плоскоотей и их алгебраические
эквивалента.
§1 .Основные определения
§2. Падповы теоремы
§3. Дезарговы теоремы
§4. Геометрическое представление ассоциативного и
дистрибутивного законов
§5. Правила знаков
§6. Геометрическое представление связей между тернарными
операциями
Глава 2.
Конфигурационные свойства Н-плоскостей и их связи с
кодлинеациями
Глава 3.
Связи между конфигурационными свойствами Н-плоскостей.
§1. Связи между разновидностями теоремы Дезарга
§2. Связь между теоремами Паппа и Дезарга
§3. Другие связи между конфигурационными свойствами
Список литературы

§1. Проективные и аффинные плоскости и конфигурации.
Инцидентностной структурой II] называется тройка 5 = < X ; I >. где ; 1er Элементы множества Ф называются точками и обозначаются цифрами или строчными латинскими буквами. Элементы множества £ называются прямыми и обозначаются прописными латинскими буквами.Отношение I называется отношением инцидентности.
п точек будем называть коллинеарными в S , если существует такая прямая L <= . которой инцидентны эти точки.
П. точек будем называть а -кой точек общего положения в S » если никакие три из них не коллинеарны в
Наиболее изученными видами инцидентностных структур являются аффинные и проективные плоскости.
Проективной плоскостью называется инцидентностная структура П ~ < U), *, I > » Удовлетворяющая следующим аксиомам:
PI. Для любых двух различных точек р и существует
единственная прямая L .такая что р , I L
Р2. Для любых двух различных прямых L и М существует единственная точка р такая, что pl L , М
РЗ. Существуют четыре точки общего положения в S
Минимальной проективной плоскостью является плоскость Фано, граф которой представлен на рисунке I.
Инцидентностная структура с параллельностью Р“0* I*
А= < 9 X -, I, II > ,

Гд@ || - отношение эквивалентности на множестве , называется
аффинной плоскостью, если выполняются следующие условия:
АТ. Для любых двух различных точек р и существует
единственная прямая I* такая,что р , I Ь
А2. для любой точки р и любой прямой М существует единственная прямая I» такая,что р I Ь и Ь ПН
АЗ. Если для прямых Ь и М не существует точки, инцидентной одновременно Ь и М , то I ИМ
А4. Существует три точки общего положения в
Минимальной аффинной плоскостью является плоскость, граф которой представлен на рисунке 2.
Между проективными и аффинными плоскостями существует тесная Рис. 2.
связь. Если из проективной плоскости П удалить некоторую прямую и инцидентные с ней точки, а отношение параллельности определить на множестве следующим образом:
М II Я (3 р ^ 9 р Гм, м, I ,
то инцидентностная структура с параллельностью П ^ = < £Г, Г, 11% где ^ {р!р1 Ь}, I = ( х.^')П I , будет аффинной
плоскостью, например, удалив из плоскости Фано точки 5,6,7 и прямую, инцидентную этим точкам, можно получить аффинную плоскость /рис. 2/.
С другой стороны, каждая аффинная плоскость А однозначно определяет некоторую проективную плоскость П , в которой существует такая прямая 1д , что плоскость , получаемая указанным выше способом, изоморфна плоскости А
Конфигурацией называется всякая конечная инцидентностная структура. Примером может служить конфигурация фано /рис. т/.

(Ь-с9а ( ЬО)
Б силу /12/, II I /3 ТО/, что означает универсальное выполнение в И конфигурационного свойства гп
Определение 1.13. Пусть в Н-плоскости П даны точки 1,2,3,
4 и прямые ^ и Ь , причём 1,2,3 - точки общего положения
в П ; 4 °с/13/,/12/; 2 1 А , Ь ; 1о^ А ; в ос 1,3. Далее:
Ь П /34/ = 5, /15/ П = 6,
/36/ П /Т4/ = 7, /24/ П /15/ = 8,
/38/ П & = 9, /27/ П /15/ = 10,
/Т9/ П К = ТТ /рис.12/. Тогда, если II I /3 10/, то будем говорить, что в П выполняется конфигурационное свойство т. с системой образующих т - 4, К , &
Докажем корректность определения: рис. 12.
Т/. 4^/Т2/,/13/ => 4 ^1,2,3 & /Т4/^/13/,/Х2/^
/34/^ /13/ & /12/ "*724/.
2/. I ^ А , £> => 1^5,6,9 & /15/,/19/"*- X
3/. 3-^-Т, Ь & /34/"*7X3/ => 3^1,5 &■ /34/^°/13/=^
3 1 &■ 5 о^/тз/ —> 3 X & /Тб/'“*-’ /13/=5> 3 '-*-'/15/ ==?-
3^6,8,10.
4/. 1^2,3& /14/^ /12/,/13/ 2,3 "7°/Т4/ 2^ 7*
/Х4/"*736/.
5/. 3 ~Ь Ь => /38/,/34/"т° в
6/. /12/-*724/,/14/£ I ^2,3,6 & /Т5/о°/13/ =*>
/12/ о^/24/,/14/ <6 I 2,3 & 6 -т^/13/ /12/ "*724/,/14/ &
X "*"2,3 &/Зб/"*713/ => /12/-*724/7x4/& I-7е 2 & X "*73б/=>
/12/"*724/,/14/& Х"*-2,7 => /Х2/"*724М х^-2й 7 "*712/=^ /12/<*-/24/,/27/^ 1^2 => X "*724/,/27/ /24/,/27/"*7X5/.
Теорема т.13. Конфигурационное свойство т. А.,0 универсаль-