Стационарная система Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами

• Автор: Порецкий, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 137 с.

Оглавление
Введение

1 Спектр операторных пучков

1.1 Краткое содержание главы

1.2 Эллиптическое расширение системы Максвелла. Операторные пучки

1.2.1 Расширенная система Максвелла

1.2.2 Эллиптический и максвелловский операторные пучки

1.2.3 Собственные числа и собственные векторы пучков 21 и 9Л

1.3 Жордановы цепочки

1.3.1 Присоединенные векторы

1.3.2 Канонические системы жордановых цепочек
1.4 Специальный выбор жордановых цепочек
1.4.1 Случай Л0
1.4.2 Случай Ло =
2 Матрица рассеяния и принцип излучения для системы Максвелла вне порогов
2.1 Краткое содержание главы
2.2 Матрица рассеяния и принцип излучения для эллиптической системы Максвелла
в волноводе
2.2.1 Полны
2.2.2 Собственные функции непрерывного спектра. Матрица рассеяния
2.2.3 Естественные условия излучения
2.3 Нерасширенная система Максвелла в волноводе
2.3.1 Разложение собственных пространств эллиптической задачи в прямую
сумму максвелловского и градиентных подпространств
2.3.2 Блочная структура матрицы рассеяния
2.3.3 О свойствах излучения в эллиптической задаче с правой частью, подчиненной требованию совместности
2.3.4 Принцип излучения для системы Максвелла
2.4 Статика: к =
2.4.1 Волны
2.4.2 Собственные функции непрерывного спектра. Матрица рассеяния
2.4.3 Принцип излучения для эллиптической системы Максвелла
2.4.4 Принцип излучения для оператора Максвелла
3 Поведение матрицы рассеянии к к* Б (к) в окрестности порогов
3.1 Краткое содержание главы
3.2 Устойчивый базис волн
3.2.1 Устойчивый базис волн для уравнения Гельмгольца
3.2.2 Устойчивый базис волн для системы Максвелла
3.2.3 Построение устойчивых волн в других ситуациях
3.3 Расширенная матрица рассеяния 6(7,к)
3.3.1 Расширенное пространство волн, расширенная матрица рассеяния, расширенный принцип излучения
3.3.2 Аналитичность решений и матрицы рассеяния как функций спектрального
параметра
3.3.3 Преобразование матрицы рассеяния при замене базиса волн
3.4 Вычисление пределов матрицы к ь-э Б(к) на пороге
3.4.1 Связь матриц Б (к) и Б (к) при к > т
3.4.2 Связь матриц Б(к) и Б(к) при к < т
3.4.3 Пределы Б{к) при к г ±
3.4.4 Обсуждение результатов
4 Метод приближенного вычисления матрицы рассеяния
4.1 Краткое содержание главы
4.2 Вычисление матрицы рассеяния вне порогов
4.2.1 Определение функционала и формулировка теоремы
4.2.2 Разрешимость задачи в (7Л
4.2.3 Обоснование метода
4.3 Вычисление матрицы рассеяния в окрестности порога
4.3.1 Метод вычисления матрицы рассеяния в окрестности порога
4.3.2 Обоснование метода
Заключение
Список литературы

Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Классическими задачами теории электромагнитных волноводов являются задача рассеяния (дифракции) электромагнитной волны на неоднородностях волновода и задача возбуждения электромагнитного поля заданными зарядами и токами. Среди многочисленных математических работ, посвященных изучению этих задач, выделим два направления. В работах одного направления рассматриваются цилиндрические волноводы с заполняющей средой, не меняющейся вдоль оси волновода, при этом предполагается, что заряды и токи имеют компактный носитель; допускается также некоторые локальные возмущения (в ограниченной области) формы волновода и характеристик среды (см. работы [4-6] и указанную там лптера-туру). Другое направление связано с нахождением приближенных решений задач в двумерных модельных областях при помощи методов Винера-Хопфа и сшивания. Рассматриваются ситуации, где система Максвелла сводится к уравнению Гельмгольца, а волновод распадается на конечное число модельных областей. Обзоры таких методов имеются в монографиях [7-9].
Актуальной проблемой является расширение класса электромагнитных волноводов, допускающих математически строгое исследование, и развитие математической теории рассеяния для таких волноводов, в частности, определение матрицы рассеяния с позиций этой теории, развитие асимптотических методов исследования этой матрицы, разработка и обоснование метода ее приближенного вычисления.
В настоящей работе мы отказываемся от ограничений, связанных с цилиндрической формой волновода, и допускаем волноводы, имеющие любое конечное число цилиндрических выходов на бесконечность; в ограниченной области волновод может иметь произвольную форму с гладкой границей. Для таких волноводов мы формулируем и обосновываем принцип излучения, вводим матрицу рассеяния, зависящую от спектрального параметра и определенную на непрерывном спектре волновода. Для всех значений спектрального параметра эта матрица является унитарной н имеет конечный размер, который меняется на порогах и остается постоянным между двумя соседними порогами. Кроме того в работе предлагается и обосновывается метод приближенного вычисления матрицы рассеяния.
Мы не используем ни методов, ни результатов работ, упомянутых в первом абзаце. Отправной точкой нашего исследования является расширение оператора Максвелла до оператора эллиптической краевой задачи. Речь идет об “ортогональном” расширении, предложенном в работах

Учитывая (1.3.10), перепишем формулы (1.3.12) в виде
к[і{иі% - ь>2д)ір-л + (иХір2 - + г/г^г)»1] -
- А0[;(іл9і + іу2д2)ФІ + {ухф° + и2ф°) - і(и,а2 - у2дО/З1] = 0,
— Аоі(уд2 — )<рІ + (у і<^>2 — + і(у і Зі + іу2д2)а1] +
+ кі{ид + І'202)ф + (ічфі + *^2 02) — '(^1^2 — ^2^1 )/^1] = 0.
Заметим, что слагаемые, содержащие компоненты собственного вектора, аннулируются в силу граничных условий. Напомним, что по предположению к2 — Ад ф 0. Поэтому из последних двух равенств получаем
[}>д2 — и2д)у + (і'їді + = 0,
[у + і'2д2)ф — — и2д)Р' = 0.
Кроме того, в силу (1.3.11)
(иф2 - щ.д)ір = 0, (г/1^2 - І'2ді)/31 = 0.
Значит, на д)П
ІЇиФ: = {уі<к + ”2<к)Ф = 0, (Ка1 = (гдсА + = 0. (1.3.13)
Мы заключаем, что каждая из двух пар ір2), (/3°, /З1) состоит из собственного и присоединенного векторов, отвечающих собственному числу А0 задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца, см. (1.3.5), (1.3.11) и (1.3.6), (1.3.11).Каждая пара (ф%, ф), (а0, а1) составлена из собственного и присоединенного векторов, отвечающих собственному числу А0 задачи Неймана для уравнения Гельмгольца, см. (1.3.4), (1.3.13) и (1.3.7), (1.3.13). (Разумеется, если Ац не является собственным для одной из задач, то соответствующий "собственный" вектор - нулевой, а присоединенный не возникает.)
Выясним теперь, при каких условиях в задачах Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца оказываются присоединенные векторы. Рассмотрим, например, задачу
А(Х)Х + к2Х = 0 в Г!, Л' = 0 на дії. (1.3.14)
Пусіь Ао и Х° - собственные число и вектор этой задачи. Условием разрешимости задачи
А(А0)А'1 + к2 Xі - 2Х° = 0 вП, Xі = 0 на дії