Контрастные структуры типа ступеньки в системах сингулярно возмущенных уравнений

• Автор: Мельникова, Алина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 132 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

1 Обзор литературы

1.1 Краевые задачи

1.2 Начально-краевые задачи

1.3 Применение с.в. систем в приложениях

2 Краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

2.1 Постановка задачи

2.2 Построение формальной асимптотики решения в виде КСТС

2.2.1 Вид асимптотики

2.2.2 Регулярная часть асимптотики

2.2.3 Функции переходного слоя
2.2.4 Функции пограничных слоев
2.2.5 Формальная асимптотика п-ого порядка
2.3 Обоснование асимптотики
2.3.1 Построение верхнего и нижнего решений
2.3.2 Проверка выполнения условий метода дифференциальных неравенств
2.4 Пример
3 Краевая задача для системы эллиптических уравнений
3.1 Постановка задачи

3.2 Построение формальной асимптотики
3.2.1 Вид асимптотики
3.2.2 Регулярная часть асимптотики
3.2.3 Функции переходного слоя
3.2.4 Функции пограничного слоя
3.2.5 Формальная асимптотика тг-ого порядка
3.3 Обоснование асимптотики
3.3.1 Построение верхнего и нижнего решений
3.3.2 Проверка выполнения условий метода дифференциальных неравенств
4 Начально—краевая задача для системы параболических уравнений
4.1 Постановка задачи
4.2 Построение формальной асимптотики в виде фронта
4.2.1 Вид асимптотики
4.2.2 Регулярная часть
4.2.3 Функции переходного слоя
4.2.4 Функции пограничных слоев
4.2.5 Формальная асимптотика тг-ого порядка
4.3 Обоснование асимптотики
4.3.1 Построение верхнего и нижнего решений
4.3.2 Проверка выполнения условий метода дифференциальных неравенств
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение
В настоящей работе исследуется ряд краевых и начально-краевых задач для систем сингулярно возмущенных уравнений с разными степенями малого параметра.
Актуальность темы
Нелинейные системы дифференциальных уравнений используются при моделировании процессов в химической кинетике, экологии, физике сверхпроводников, космической электродинамике, нейрофизиологии, задачах тепло и массопереноса и в других областях.
Разные пространственные и временные масштабы изменения компонент системы, а также учет малых факторов, существенно влияющих на процесс, приводят к появлению в уравнениях, описывающих процесс, малых параметров. Соответствующие слагаемые, содержащие малые параметры, называются возмущением системы.
Задача, решение которой нельзя равномерно приблизить решением соответствующей задачи без возмущения, называется сингулярно возмущенной.
К такому классу задач относятся дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной. Систематическое развитие теории сингулярных возмущений началось с классических работ А.Н. Тихонова [1]—[3]. Наиболее известными методами теории являются метод пограничных функций [4], метод ВКБ [5] и метод сращивания [6].
Метод пограничных функций был разработан А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузовым (см.[4]) и позволяет строить и обосновывать равномерные асимптотические разложения решений в ряды по степеням малого параметра. Коэффициенты этих рядов зависят как от исходных, так и от растянутых (погранслойных) переменных. В дальнейшем область применения метода была расширена на задачи с внутренними пере-

В левые части равенств (2.7), (2.8) и в равенства (2.9) не входят функции пограничных слоев, поскольку в результате стандартной процедуры умножения на срезающую функцию (см. [4]) они будут равны нулю вне малых окрестностей граничных точек 1=0их = 1, в частности равны нулю в окрестности точки х*.
2.2.2 Регулярная часть асимптотики
Подставляя искомые разложения
стандартным способом, описанным в [4], получаем системы конечных уравнений для
(х, є) = (х) + єи^ (х) + є2й2^ (х) + ...;
(х, є) = (х) -1- (х) + є2^'1 (х) +
в систему уравнений
є4-^и(х,є) = }{и(х,є),ь(х,є), ж, є),
<і2 _
£) = 9{и{х, є), ь(х, є),х,є), хЄ [0; 1],
определения функций и(х), (х), к = 0,1,
Главные члены (х) и (х) суть решения вырожденной системы (2.1):
/(«оТ) {х) > уоТ) (ж). х> °) = #(4Т) (х). ^ (х), х, 0) = 0.
Они определяются условиями А1 и А2:
4~} =4>1(-и1(х),х) =: ф1 (х),
«о+) =у3{х),
й0+) = <^3(«3(X), х) =: ф3 (х) .
Функции и^х) и у^х) при к > 1 определяются из линейных систем