Нормальные формы вблизи изотропных торов и асимптотические собственные значения и собственные функции некоторых многомерных дифференциальных операторов

• Автор: Потеряхин, Михаил Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с. : ил.

1 Асимптотические спектральные серии для оператора с малой диффузией, соответствующие устойчивым инвариантным торам с нерегулярными окрестностями

1.1 Постановка задачи

1.2 Основной результат

1.2.1 Почти периодическое движение и примеры

1.2.2 Свойство асимптотической устойчивости

1.2.3 Операторы рождения и возбужденные состояния

1.3 Асимптотические решения параболического уравнения, сосредоточенные в окрестностях торов

1.3.1 Общий вид решения

1.3.2 Редукция системы уравнений в вариациях

1.3.3 Свойства системы уравнений в вариациях

1.3.4 Матрицы В и С для стационарных решений

1.3.5 Амплитуда А
1.3.0 Решения параболического уравнения для основных
состояний
1.4 Операторы рождения
2 Нормальные формы вблизи инвариантного тора и асимптотические собственные значения и собственные функции оператора с малой диффузией
2.1 Основные результаты
2.2 Доказательства утверждений
3 Нормальная форма четвертого порядка в окрестности двумерных резонансных торов для многомерного ангармонического осциллятора
3.1 Введение

3.2 ’’Почти” нормальная форма четвертого порядка
3.3 Усреднение по углу
3.4 Четырехмерный ангармонический осциллятор
3.5 Вычисление коэффициентов нормальной формы четвертого порядка
4 Усреднение для гамильтоновых систем с одной быстрой фазой в случае малых амплитуд
4.1 Введение
4.2 Постановка задачи и основные результаты
4.3 Аналитическое решение гомологического уравнения в окрестности особой точки
4.4 Доказательство основной теоремы об экспоненциально малой поправке
4.4.1 Процедура последовательно определяемых замен переменных
4.4.2 Индуктивные оценки
4.5 Дополнение
Список литературы

Квазиклассическое приближение. Нормальные формы.
Квазиклассическое приближение или метод ВКБ давно и успешно применяется в многомерных спектральных задачах квантовой механики, акустики, гидромеханики и т.д. В его идейной основе лежит так называемый принцип соответствия, возникший в работах Бора, Зоммерфельда, Эйнштейна, Бриллюэпа в эпоху зарождения квантовой механики и утверждающий, что некоторым инвариантным множествам с “хорошими свойствами” классических динамических систем могут быть сопоставлены подпоследовательности асимптотических собственных функций и значений (квазимод) соответствующих операторов квантовой механики. Глобальный подход к математическим конструкциям квазимод и выявлению их связи с геометрией и топологией предложен в основополагающей монографии В.П. Маслова [83]. В ней, в частности, принцип соответствия реализован для лиувиллевых торов интегрируемых гамильтоновых систем. Развитию этого и близких подходов, в частности, для систем близких к интегрируемым (в классической механике), и его реализации в конкретных задачах посвящено огромное количество работ. В частности, в монографиях и обзорных работах [14, 32, 41, 70, 72, 70, 77, 79, 84, 85] можно найти достаточно полную библиографию. Размерность лиувиллевых торов (в более общем случае - лагранжевых многообразий) равна п, где п — размерность соответствующего конфигурационного пространства, и существование семейств таких торов, требуемых в квазиклассическом приближении, гю-существу эквивалентна интегрируемости классической системы, что накладывает на нее весьма жесткие условия.
В то же время неинтсгрирусмые задачи классической механики часто допускают инвариантные множества размерности к < п. Например такими множествами могут быть точки покоя (к = 0) или замкнутые траектории (к = 1), существование которых, предполагает существенно более
В соответствии с Теоремой 1.3 решение для амплитуды имеет вид А{х,і)= ( ехр (- [ сііу^сііЛ ) . (1-57)
Используя определение (1.42) матрицы С мы можем переписать следующее выражение ( напомним, что матрицы С,Во невырождены) :
1 г»

ейяМу/ШЦу)
^0=^.0 (х,4). ч>=ч> (*)
Alet С( X (|р°, 1), 1) <1й В0
Выражение для интеграла /Г)* / с11уУйС = (сИуР) Ь + [ (сИуУ - (сНуИ)) (Н.
J о J о
где (сНуИ) = Нтг_оо у /д (ИуУс1т. Сходимость этого интеграла мы обсуждали ранее. Используя, например, разложение в ряды Фурье, можно легко проинтегрировать второй член : /0* ((НуИ — (сПуС)) <11 = Р{<р)
РШВыберем начальные условия для А следующим образом А (т = еП*]
с]е(; Во спы '
Тогда мы получаем :
Л(х, 1) = е~А°‘ Ао&)у/^Ш 1 Ао = — Н>п ^ [ (ПуИ(1г,
Ь=<АА т-,°° Т J0
где <р{х) — решение для уравнения (1.51).
1.3.6 Решения параболического уравнения для основных состояний
Из выведенных рапсе выражений для 5(жД) и А(х,£) мы получаем следующее выражение для решения уравнения (1.28) :
и(х, 1) = и0{р) ехр (-АоО!^,) -«О(у?) =И0(уз)Л1е1 П{<р) ехр (10(х - Х(<р)),11(<рУ(1{х - Х(<р)))^ ,
где р> является ])сшспием у1)авнения (1.51). Следовательно, Теорема 1.1 выполнена в силу процедуры построения решения.