Интегрируемые системы частиц на алгебраических кривых

• Автор: Ахметшин, Алексей Алмазович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 с. : ил

Оглавление
Введение
Обзор
Содержание работы
1 Интегрируемые системы частиц на гиперэллиптических кривых
1.1 Уравнения Дубровина
1.2 Интегрируемая система частиц на эллиптической кривой
1.3 Интегрируемая система частиц на общей
гиперэллиптической кривой
1.4 Метрики Дарбу-Егорова и их дискретные аналоги
Приложение I
Приложение II
Приложение III
2 Эллиптические семейства решений уравнения КП и полевой аналог
эллиптической системы КМ
2.1 Уравнение нулевой кривизны на алгебраических кривых
2.2 Полевой аналог эллиптической системы
Калоджеро - Мозера
2.3 Порождающая линейная задача
2.4 Редукция полевой эллиптической системы
Калоджеро - Мозера
2.5 Эллиптические семейства решений уравнения КП
2.6 Алгебро-геометрические решения
Приложение I
Приложение II

3 Гамильтонова структура уравнения Кричевера- Новикова
3.1 Решения высших рангов уравнения КП
3.2 Уравнение Кричевера- Новикова — частный случай
уравнений нулевой кривизны на эллиптической кривой
Заключение
Литература

Введение
Обзор
Изучение вполне интегрируемых систем классической механики являлось одним из центральных направлений исследований в XIX веке. Уравнения движения таких систем могут быть проинтегрированы в квадратурах, т. е. решения получаются с помощью конечного числа алгебраических операций и вычислений интегралов известных функций. Основная теорема была доказана Буром и Лиувиллем. Однако, в начале XX века после работ Пуанкаре стало ясно, что глобальные интегралы движения гамильтоновых систем существуют лишь в исключительных случаях, и интерес к таким системам упал.
До 60-х годов XX века было известно лишь небольшое число интегрируемых систем. К ним относятся движение в поле центрального потенциала (Ньютон), свободное движение на поверхности трехосного эллипсоида (Якоби), движение твердого тела вокруг неподвижной точки в поле тяжести в специальных случаях (Эйлер, Лагранж, С. В. Ковалевская), а также движение твердого тела в идеальной жидкости в специальных случаях (Кирхгоф, Клебш, В. А. Стеклов).
Новый интерес к этому направлению возник в 1967 году после работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [67], послужившей отправной точкой в развитии нового метода интегрирования нелинейных эволюционных уравнений, известного как метод обратной задачи теории рассеяния или метод изоспектралъной деформации. В работе [67] уравнение Кор-тевега-де Фриза (КдФ)
в классе функций, убывающих при |ж| —> оо, было проинтегрировано при помощи преобразования рассеяния для одномерного оператора Шрёдингера по переменной х с дополнительным параметром і. В 1968 году П. Лаксом была открыта алгебраическая основа данного метода [78]. Было показано, что уравнение (0.1) можно записать как уравнение, описывающее динамику оператора Шрёдингера
(0.1)
тС+[А,С] 0 <=> С, т А 0,
(0.2)

С = д2х + и, А = д1 + ^идх + ^их, дх =
(0.3)

Предложение 1.7. Существует единственная функция ф = ^(и, <2 | Д Д), где <2 £ Г и и = («х,... ,ин) £ ZJV, такая, что
1) ф как функция переменной <2 мероморфна на Г вне отмеченных точек Р• при любом и и дивизор ее полюсов не превосходит Д
2) в окрестности точки Р^ имеет место разложение
ф = ^<±(«)(»*)^ ;
(3) ф удовлетворяет нормировочным условиям
ф{и, Да | Д Д) = 1, а = 1,... ,1.
Рассмотрим оператор сдвига
Д / (^15 * ■ ■ ? «ЛГ) — /(^1> • * • 5 ^г—1 > Т 1, ^г+1 ■ ■ ■ ? и разностную производную Дг/(и) = Т;/(и) — / (и).
Лемма 1.4. Функция Бейкера-Ахиезера 1/>(и, <2 | -О, Д) удовлетворяет системе уравнений
Д.-Дуг/’ = А^ф, г,] = 1,... ,Д гф], (1.27)
где коэффициенты а^ = а^(и) и еф = а^(и) выражаются через старшие коэффициенты разложения 7?0 I функции ф(и, <2| ДД) в окрестности точек Д5+ по формулам:
г _ о;+ ^ _ Дг7)До|+
°у_ т4<+ ’ 2У0;+ ■
Доказательство. Благодаря выбору коэффициентов, разность левой и правой части уравнения (1.27) удовлетворяет первым двум условиям определения функции Бейкера-Ахиезера, а в точках нормировки обращается в ноль. Из этого наблюдения и из единственности функции Бейкера-Ахиезера немедленно следует утверждение теоремы. □
Приложение I
В этом приложении мы даем доказательство Теоремы 1.2. Утверждение данной теоремы состоит в том, что коэффициенты полинома

Ь() = Ц\ г,г1) = £ *} Ц(р(*) — А) = £ Нк(г,г')к
j= 1 {фу к—О
являются интегралами движения системы (1.15).