Цепочки Гюгонио-Маслова и особые вихревые решения системы уравнений мелкой воды

• Автор: Семенов, Евгений Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с.

1 Цепочки Гюгонио-Маслова и особенности типа
квадратного корня
1.1 Цепочки Гюгонио—Маслова как необходимые условия существования особых вихревых решений
1.2 Свойства сингулярной вихревой составляющей решения
1.3 Замыкание цепочки
2 Единственность особенности типа квадратного корня
4 2.1 Вспомогательные утверждения
2.2 Уравнение для функции Р с особенностью в морсовых
рУ координатах
2.3 Модельные уравнения
2.4 Возможные решения модельных уравнений
2.5 Исходная система уравнений и особенности перечисленных типов
3 Анализ негладкой компоненты решения и возникновение
условий Коши-Римана на траектории
3.1 Негладкая (вихревая) компонента решения
3.2 Особенность, “вмороженная” в поле скоростей
3.3 Уравнение эйконала для функции
3.4 Уравнение переноса для амплитуды и возникновение условий Коши-Римана
3.5 Вычисление поправки 11^
3.6 Порядок остатка для негладкой составляющей решения
3.7 Закон сохранения для потенциального вихря и условия Коши-Римана
3.8 Поправка к условиям Коши-Римана

4 Анализ гладкой составляющей решения
4.1 Вывод цепочки Гюгонио-Маслова для гладкой составляющей, завершение доказательства теоремы 1
4.2 Цепочки Гюгонио-Маслова в новых комплексных переменных
5 Интегрируемость оборванной цепочки: редукция к
уравнению хилла и одномерные гамильтоновы системы
5.1 Новые зависимые переменные и интегралы оборванной цепочки
5.2 Уравнение Ермакова и редукция к уравнению Хилла
5.3 О влиянии устойчивости уравнения Хилла и наличия постоянной силы Кориолиса на траектории
5.4 Критические режимы
5.5 Критические режимы в случае /3
5.6 Влияние /3—эффекта и гамильтоновы системы в критических режимах
5.7 Медленные траектории оборванной цепочки в случае, когда /3 не является параметром возмущения
6 Цепочки Гюгонио-Маслова для системы уравнений
мелкой воды с учетом энергетического обмена
Список литературы
В 1980 году В.П. Маслов [28, 29] сформулировал гипотезу, согласно которой широкий класс квазилинейных гиперболических систем, включая гидродинамические уравнения, допускает лишь несколько типов решений с особенностями, обладающих следующими свойствами. Во-первых, структура особенности сохраняется в течение некоторого интервала времени (свойство структурной самоподобности); во-вторых, структура особенности не меняется при малых возмущениях (свойство структурной устойчивости). Такой выбор свойств соответствует наличию в уравнениях нелинейности: в случае линейных гиперболических систем структура любой особенности в начальных данных сохраняется для решения (по крайней мере в течение малого интервала времени). К указанным типам особых решений принадлежат ударные волны, “бесконечно узкие” солитоны и вихревые особые решения “типа корня квадратного из квадратичной формы.” Такие решения могут быть описаны формулой, аналогичной “нелинейным” (уиземовским) решениям и искаженным волнам Римана (см. [36])
w = f (х, t) + g(x, t)F(S(x, <)), (1)
где w - векторная (или скалярная) функция, I £ R", F(r) - скалярная функция, гладкая вне г = 0 и имеющая особенность при т = 0, а фаза S(x,t), векторный (или скалярный) фон f(x,t) и амплитуда g(x,t) - гладкие функции. Особенность может соответствовать, например, разрыву первого рода (тогда мы имеем дело с ударными волнами), а может принадлежать классу С1. Очевидно, особенности w{x,t) определяются нулями X{t) функции S(x,t). Например, для ударных волн в одномерном (n = 1) случае имеем F — 0(т), где в(т) функция Хевисайда (0 = 0 при т < 0 и 1 при г > 0), S = х — X(t). Для другого типа особенности по-прежнему S = х — X(t), но F = Sol (г), где Sol (г) = 0 при г = 0 и 1 при т = 0. В этом случае функция w описывает бесконечно узкий солитон на фоне и(х, t). Решения такого вида возникают, например, как предельные решения уравнения Кортевега—де Фриза с дисперсией е2 при е —> 0 (см. [14, 30]).

Из (2.34), выразим (и^кР^) через (V, £7^)5^ и подставим результат в (2.37). Тогда получим ({/(*), У)5/^ = (V, 1/^)1!^. остые вычисления показывают, что это уравнение можно переписать в виде
л п г ди[к) ди{к)
бец2)——) = 0. Отсюда следует, что векторы и -д£- коллинеарны,
81}^ 011 /
т. е., ■ = 70 д3х , где 7о(<) гладкая функция. Интегрируя эти
соотношения по а; и учитывая тот факт, что 11^ однородные полиномы
по х, получаем 11^ = и[к^70.
Подставим это выражение в (2.38) и умножим скалярно обе части
получившегося соотношения на Тх; ; в результате получим и[кх2
70Х)) = 2сг(к~1'1 что противоречит предположению о том, что и^> не
делится на так как (хг — Х170) Ф 0.
Тем самым завершается доказательство леммы 14 и 9. □
В заключение отметим, что соответствующей системой для И = у/т
является (3.1), (3.4) и в отличие от предыдущих случаев эта система
может быть совместной, если 1/ и И имеют ненулевые производные
случай изучается в следующей главе.