Полулокальные нормальные формы пуассоновых структур и гамильтонизация динамических систем

• Автор: Воробьев, Юрий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 196 с.

Оглавление
Введение

1 Предварительные сведения и основные определения

1.1 Скобка Схоутена

1.2 Пуассоновы многообразия

1.3 Исчисление на расслоениях

1.3.1 Связность Эресмана

1.3.2 Пуассоновы расслоения и пуассоновы связности

2 Метод спаривания для пуассоновых структур

2.1 Пуассоновы структуры спаривания

2.1.1 Факторизация тождества Якоби

2.1.2 Горизонталънощевырожденные бивекторные поля
и геометрические данные
2.1.3 Основной результат
2.1.4 Плоские пуассоновы структуры спаривания
2.1.5 Симметрии структурных уравнений
2.1.6 Симплектпческие слоения пуассоновых структур спаривания
2.1.7 Инфинптезимальные пуассоновы автоморфизмы
2.1.8 Сохраняющие слои преобразования
2.2 Окрестность симплектического листа
2.2.1 Полулокальная теорема расщепления
2.2.2 Сингулярные коприсоединенные орбиты коалгебр во*(4) и е*(3)
3 Метод гомотопии для пуассоновых структур
3.1 Инфинптезимальные генераторы
3.1.1 Гладкие семейства пуассоновых тензоров спаривания
3.1.2 Критерии существования инфинитезимальных генераторов
3.2 Относительные 2-коциклы Казимира
3.3 Эквивалентность пуассоновых структур в окрестности
симплектического листа
3.3.1 Постановка задачи
3.3.2 Калибровочная эквивалентность трансверсальных пуассоновых
структур
3.3.3 Единственность трансверсальной пуассоновой структуры
3.3.4 Достаточные и необходимые условия для полулокальной
пуассоновой эквивалентности

4 Пуассоновы структуры, индуцированные транзитивными
алгеброидамп Ли
4.1 Транзитивные алгеброиды Ли
4.2 Пуассоновы структуры A-спаривания
4.2.1 Однородные геометрические данные
4.2.2 Варьируя связность
4.2.3 Изоморфизмы алгеброидов Ли и пуассонова эквивалентность
5 Проблема полулокальной линеаризации и нормальные формы
пуассоновых структур
5.1 Линеаризованная пуассонова структура над симплектическгш листом
5.1.1 Линеаризованные геометрические данные и трансверсальные
подрасслоения
5.1.2 Существование линеаризованных пуассоновых структур
5.1.3 Деформированные линеаризованные пуассоновы структуры
5.1.4 Транзитивный алгеброид Ли сішплектического листа
5.2 Теорема о полулокальной линеаризации
5.2.1 Линеаризуемость в сингулярной точке
5.2.2 Полулокальная линеаризуемость
5.2.3 Нормальные формы и линеаризуемость над симплектическим
листом полупростого и компактного типов
5.2.4 Примеры нелпнеаризуемых пуассоновых структур
5.2.5 Плоские линеаризованные пуассоновы структуры
6 Задача гамильтонизации для проектируемой динамики
6.1 Проектируемые динамические системы на расслоениях
6.1.1 Общие свойства проектируемых векторных полей
6.1.2 Инвариантные связности
6.1.3 Алгебра Ли проектируемых гамильтоновых векторных полей
6.1.4 Г-Приводимость
6.2 Задача гамильтонизации на пуассоновых расслоениях
6.2.1 Постановка задачи. Необходимые условия
6.2.2 Уравнения гомологического типа и критерии гамильтонизации
6.2.3 Случай тривиальных пуассоновых расслоений
6.2.4 Семейства периодических по времени гамильтоновых систем
6.3 Гамильтонизации линейных векторных полей
6.3.1 Общие свойства линейных векторных полей
6.3.2 Линейные гамильтоновы векторные поля на расслоениях
Ли-Пуассона
6.3.3 Критерии гамильтонизации
6.3.4 Уравнения гомологического типа на плоских
расслоениях Ли
6.4 Задача гамильтонизации на симплектических
расслоениях
7 Линеаризованная гамильтонова динамика над симплектическими
подмногообразиями
7.1 Процедура линеаризации

7.2 Линеаризованные гамильтоновы модели
над симплектическим листом
7.2.1 Гамильтонова форма систем в вариациях
7.2.2 Инфинитезимальные первые интегралы
Литература

сечений подрасслоений И и V, соответственно. Тогда, локально, горизонтальная и вертикальная компоненты бивекторного поля П можно записать в виде
пя = (£, х) Ьогі Л йог,,
Предложение 2.1.2 Для бивекторного поля П = Пя + П.у, тождество Якоби
[П,П] =
распадается на следующие уравнения для горизонтальной и вертикальной компонент:
ЯП'3'
в ПГ-ТГТ- = 0. (2Т.4)
(а,/3,7) дха '
n^(Thoijnv)“'J = 0, (2.1.5)
6 4*ihor.№) = 0, (2.1.6)
Щ CurvT, П* = (2.1.7)
Здесь & обоз7мчает циклическую сумму, Thor, — производная Ли вдоль hor„ и CurvT, — компоненты формы кривизны Cnrvr относительно базиса
Доказательство. Из (1.3.2) следует, что 3-тензорнос поле [П,П] имеет разложение по по-ливекторным полям бистепеней (3,0), (2,1), (1,2), (0,3):
[П,П] = [Пя,Пя] + гДя,^] + [Пу,Пу] (2.1.8)
= [П, П]з,0 + [П, П]2Д + [П, П]х,2 + [П, П]о,3.
В силу стандартных свойств скобки Схоутена (см. раздел 1.1), имеем следующие тождества:
[W, Z1 А Z2] = [TV, Zt А Z2 + Z А [TV, Z2] (2.1.9)

[Zi A Z2, A] = Z2 A LztA — Z A Lz^A (2.1.10)
для любых векторных полей при W,Z,Z2 6 Х(Е) и А & х2(Е)- Из свойства (1.3.17) и
соотношений (2.1.9), (2.1.10), можно вычислить компоненты разложения (2.1.8).
(i) “Горизонтально-горизонтальная” компонента:
[Пя,Пя] = ^РяhorjAhoij-,horj'Ahory] (2.1.11)
= -ПffLhois (П^) hör, Л hotj А hoi>
— IK CurvS H'J A hör,- A horp . н дха 3 J